Delimitazione di un polinomio mediante una somma con determinate proprietà

Question

Definire$f:[0,\infty) \times [0,\infty) \to [0,\infty)$di$f(x.y)=(x-1)^2+(y-1)^2$.

Domanda: Esistono funzioni continue$g,h:[0,\infty) \times [0,\infty) \to [0,\infty)$, soddisfacente

1. $g(x,y)=0$se e solo se$xy=1$.
2. $h(x,y)=0$se e solo se$x=y$.
3. $f(x,y) \le g(x,y)+h(x,y)$.

Commento: La motivazione viene dal caso erano$x,y$sono interpretati come valori singolari di a$2 \times 2$matrice. Quindi$f(x,y)$è la distanza della matrice da$\operatorname{SO}(2)$.$g$e$h$sono interpretati come misure per la deviazione della matrice dall'essere di conservazione dell'area e conforme, rispettivamente.

Answer 1

Permettere$z = x + i y, \, F(z) = (z-(1+i))^2$. Quindi$|F(z)| = |(z-(1+i))|^2 = f(x,y)$.

Ora imposta$G(z) = z^2 - 2i$. Quindi$\Re G(z) = (x-y)(x+y), \, \Im G(z) = 2(xy-1)$.

Calcolare$\frac{F(z)}{G(z)} = \frac{z-(1+i)}{z+(1+i)}$e quindi$$\big|\frac{F(z)}{G(z)}\big| = \big|\frac{z-(1+i)}{z+(1+i)}\big| \le 1$$se e solo se$\Re z + \Im z \ge 0$, il che è certamente vero se$x \ge 0, \, y \ge 0$.

Quindi ora hai per$x, \, y \ge 0$ $$ f(x,y) = |F(z)| \le |G(z)| \le |\Re G(z)| + |\Im G(z)|= |x-y||x+y| + 2|xy-1| $$e puoi leggere$g$e$h$.