Densità di numeri primi gaussiani all'interno di dischi consecutivi centrati lungo l'asse reale del piano complesso

Question

Definiamo la famiglia di sottoinsiemi consecutivi di$\mathbb{N}$:$$S_n =\{x \in \mathbb{N}\,:\,|x-n^2|\le n\}$$Con la definizione precedente abbiamo questo$$U_n=\bigcup_{k=1}^n S_k=\{x \in \mathbb{N}\,:\,0\le x \le n^2+n\}$$e$$\pi(U_n)\sim\frac{n^2}{2\log n}$$mentre$$\pi(S_n)\sim\pi(U_n)-\pi(U_{n-1})\sim\frac{n}{\log n}$$Pertanto, la densità dei numeri primi in$S_n$è dato da:$$\rho_n=\frac{\pi(S_n)}{2n}\sim \frac{1}{2\log n}$$ Ora estendiamo tutti gli argomenti precedenti al piano complesso: $$D_n =\{z \in \mathbb{C}\,:\,|z-n^2|\le n\}$$ $$V_n=\bigcup_{k=1}^n D_k$$

Se indichiamo con$\pi_G(X)$il numero di numeri primi gaussiani all'interno del sottoinsieme$X$di$\mathbb{C}$, l'indagine numerica lo suggerisce $$\pi_G(V_n)\sim\frac{n^3}{3\log n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$mentre$$\pi_G(D_n)\sim\pi_G(V_n)-\pi_G(V_{n-1})\sim\frac{n^2}{\log n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$Quindi la densità dei numeri primi gaussiani in$D_n$è dato da:$$\rho_n^G\sim\frac{\pi_G(D_n)}{\pi n^2}\sim \frac{1}{\pi \log n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$

Gradirei qualsiasi suggerimento sulla convalida teorica dei comportamenti asintotici (1), (2), (3).

Answer 1

Ciò che osservi può essere spiegato euristicamente, sulla base dell'ipotesi di Riemann per la funzione zeta di Dedekind$\mathbb{Q}(i)$, e l'aspettativa che$D_n$è una sottoregione non troppo speciale dell'anulus$$A_n:=\{z\in\mathbb{C}:n^2-n\leq|z|\leq n^2+n\}.$$

Infatti, assumendo l'ipotesi di Riemann per$\zeta_{\mathbb{Q}(i)}$, otteniamo la densità dei primi gaussiani in$A_n\cap\mathbb{Z}[i]$è$$\sim \frac{4((n^2+n)^2-(n^2-n)^2)/\log n^4}{\text{area of $Un$}}=\frac{1}{\pi\log n}.$$Il fattore$4$è la dimensione del gruppo di unità$(\mathbb{Z}[i])^\times$. Forse questo risultato deriva già da un comprovato teorema di densità zero per$\zeta_{\mathbb{Q}(i)}$, poiché l'analogo risultato per i numeri primi razionali è un vecchio risultato di Ingham . In ogni caso, i valori assoluti di$z\in D_n$variare tra$n^2-n$e$n^2+n$, e non sono troppo concentrati$n^2$, quindi è ragionevole aspettarsi che la densità della gaussiana sia numero primo in$D_n\cap\mathbb{Z}[i]$è asintoticamente uguale a in$A_n\cap\mathbb{Z}[i]$; questo è ciò che il tuo$(3)$record. Le dichiarazioni$(1)$e$(2)$seguire prontamente da$(3)$. Dimostrare$(3)$sembra non banale anche sotto l'ipotesi di Riemann per$\zeta_{\mathbb{Q}(i)}$; ma ancora una volta, i noti teoremi della densità zero potrebbero essere sufficienti per questo scopo.