Differenza concettuale tra coefficiente multinomiale e coefficiente di Bose-Einstein: contare i successi di un dado a 6 facce lanciato n volte?

Question

Ciao, quindi ho problemi a capire la differenza tra il teorema di Bose-Einstein e il coefficiente multinomiale e quando usarli separatamente?

Quindi il problema su cui dovevo lavorare era "un gruppo di 30 dadi vengono lanciati in quanti modi diversi ci sono per far apparire 5 di ciascuno dei valori su un dado a 6 facce (1,2,3,4,5,6 ) lanciato 30 volte? "

quindi il coefficiente multinomiale sta contando il numero di lati (1-6) che compaiono in 30 lanci. $\frac{30!}{5!^{6}}$.

Questo equivale a dire 30! modi totali di ordinare i dadi, tuttavia non ci interessa l'ordine in cui appaiono i 5 lati e dobbiamo correggere il 5! modi in cui appare una data faccia poiché non ci interessa l'ordine di una particolare faccia / lato.

tuttavia la formula di Bose-Einstein conta il numero totale di $k$ particelle indistinguibili che si trovano all'interno $n$"bidoni" distinguibili. Quindi, ad esempio, in questo caso, se ogni lato dello stampo fosse un contenitore distinguibile (1,2,3,4,5,6), e siamo interessati a 'calcolare' quante volte un contenitore è stato selezionato in 30 lanci, non questo rendimento$35\choose{30}$modi totali di distribuire i 30 lanci su bidoni / facce? eppure questi sono molto diversi!

per favore aiutami a capire le differenze tra questi approcci.

Answer 1

I dadi svolgono il ruolo di palline e le parti svolgono il ruolo di cellule. Ci sono$r=30$ lanci di dadi che potrebbero far atterrare uno qualsiasi dei valori $1,2,3,4,5,6$ cioè $n=6$cellule. Scegliamo di trattare i dadi come distinguibili, semplicemente perché la sequenza$1111122222333334444455555$ è distinto da $5555544444333332222211111$.

Ci sono $30!$ permutazioni di $30$dadi distinti. Come hai sottolineato, ad esempio se prendiamo una sequenza$111112222233333444445555566666$, corrispondente a ciascuna sequenza che ci sono $(5!)^6$arrangiamenti che lasciano invariato l'aspetto esteriore della sequenza. Quindi, la divisione per$(5!)^6$. Così,$\frac{30!}{5!5!5!5!5!5!}$ sono il numero di arrangiamenti distinguibili di cinque 1, cinque 2, cinque 3, cinque 4, cinque 5 e cinque 6.