Differenza tra i termini consecutivi di una sequenza crescente costituita da numeri interi positivi composti da numeri primi finiti

Question

Supporre che $\{x_n\}$ è una sequenza crescente i cui elementi sono numeri interi positivi composti da numeri primi finiti $p_1, \dots, p_s$. Voglio verificare il seguente limite$$ \lim_{n\to\infty}x_{n+1}-x_{n}=\infty. $$ Ho letto un risultato che fornisce un limite inferiore per la differenza tra i termini consecutivi di $\{x_n\}$nella letteratura. Questo risultato implica che la differenza tra i termini consecutivi diverge. Tuttavia, posso dimostrare in modo elementare che il limite sopra è infinito?

Answer 1

Questa risposta di Felipe Voloch su mathoverflow.net è rilevante:

Sì, è vero che questo tipo di equazione ax + by = c, dove a, b, c sono diversi da zero e fissi ex, y possono avere solo fattori primi in un insieme finito, ha solo un numero finito di soluzioni. Questo è un caso speciale del teorema di Siegel sui punti integrali sulle curve.

Scegliere $a=1$ e $b=-1$, così che $x-y=c$ ha solo un numero limitato di soluzioni per un dato $c$. Quindi ci sono solo un numero finito di coppie$x,y$ con $|x-y|<M$ per ogni dato $M$.

Purtroppo il teorema di Siegel non è affatto elementare. Sospetto che non ci siano prove elementari.