Difficoltà a comprendere le affermazioni usando le conseguenze semantiche nonostante la conoscenza della definizione
So che conseguenza semantica significa che tutte le affermazioni a sinistra possono essere tutte vere (sono soddisfacenti) se il lato destro è vero. Se il lato destro è falso, le affermazioni a sinistra non possono essere tutte vere.
Ci sono alcune affermazioni che mi danno problemi.
Il primo: $$ [\{\Gamma, \phi \} \vDash \psi] \ \ iff \ \ [\{\Gamma\} \vDash (\phi \rightarrow \psi)] $$ Se inizio con la sinistra di iff, tutte le affermazioni hanno un senso.
Il problema è quando inizio con il lato destro di iff e $\Gamma$ è vero, $\phi$ è falso e $\psi$è vero. Questa è un'affermazione legittima, ma dimostra che l'intera affermazione è sbagliata.
Il secondo: $$ [\{\bot\} \vDash \psi] $$
$\psi$potrebbe essere vero nonostante il lato sinistro sia falso. Pensavo fosse impossibile.
Il terzo:
$$ If \ [\{\Delta, \lnot \phi\} \vDash \bot]\ then \ [\{\Delta\} \vDash \phi] $$
Se $\Delta$ è insatificabile e $\phi$ è vero, la parte if è vera e la parte then è sbagliata.
Sicuramente sto fraintendendo qualcosa se continuo a imbattermi in questo problema.
Risposte
So che conseguenza semantica significa che tutte le affermazioni a sinistra possono essere tutte vere (sono soddisfacenti) se il lato destro è vero.
No, non è questo che significa. È esattamente il contrario: il lato destro è vero se tutte le affermazioni sul lato sinistro sono vere. Iow, la definizione di conseguenza semantica è che sotto ogni data interpretazione, o l'RHS è vero o almeno un'affermazione sull'LHS è falsa. Non è necessario che l'LHS sia vero se l'RHS lo è!
Forse è più facile vederlo dal negativo: l'unica cosa che non deve accadere è che tutte le affermazioni sul LHS siano vere ma il RHS falso simultaneamente. Se, sotto qualche interpretazione, l'RHS è vero ma l'LHS no, va bene. Ciò significa in particolare che se la LHS non può mai essere simultaneamente vera (= è insoddisfacente), allora non può esserci tale controinterpretazione e la conseguenza è vacua.
(Vedi anche la nota sulla (non) soddisfacibilità nell'ultimo paragrafo; il tuo utilizzo qui suggerisce un malinteso di cosa significhi.)
$$ [\{\Gamma, \phi \} \vDash \psi] \ \ iff \ \ [\{\Gamma\} \vDash (\phi \rightarrow \psi)] $$ Se inizio con la sinistra di iff, tutte le affermazioni hanno un senso.
Il problema è quando inizio con il lato destro di iff e $\Gamma$ è vero, $\phi$ è falso e $\psi$è vero. Questa è un'affermazione legittima, ma dimostra che l'intera affermazione è sbagliata.
Stai interpretando male la struttura dell'affermazione. Stai osservando un'assegnazione concreta dei valori di verità e cerchi di capire da quell'unica interpretazione se le conseguenze semantiche a sinistra ea destra sono valide. Ma non è quello che dice: l'affermazione si traduce in
[In tutte le interpretazioni, una delle affermazioni in $\Gamma, \phi$ è falso o $\psi$è vero]
iff
[Sotto tutte le interpretazioni, una delle affermazioni in$\Gamma$ è falso o $\phi \to \psi$ è vero].
Cioè, dobbiamo prima esaminare tutte le interpretazioni per determinare se le conseguenze semantiche valgono, quindi valutare il "se e solo se". Guardando solo un caso in cui$\Gamma$ è vero, $\phi$ false e $\psi$ true non ci consente di trarre una conclusione sul fatto che uno dei due lati di "iff" sia valido.
Il secondo: $$ [\{\bot\} \vDash \psi] $$
$\psi$potrebbe essere vero nonostante il lato sinistro sia falso. Pensavo fosse impossibile.
Vedi sopra: è il contrario; è solo richiesto che non sia possibile che la RHS sia falsa nonostante la LHS sia vera. E questo non può mai essere il caso se la LHS non può diventare vera sotto qualsiasi interpretazione in primo luogo, come è il caso per$\bot$, quindi la conseguenza è vacua.
$$ If \ [\{\Delta, \lnot \phi\} \vDash \bot]\ then \ [\{\Delta\} \vDash \phi] $$
Se $\Delta$ è insatificabile e $\phi$ è vero, la parte if è vera e la parte then è sbagliata.
Puoi interrompere la lettura dopo "Se $\Delta$ è insoddisfacente ": Allora nessuno dei LHS può mai diventare vero, quindi entrambe le conseguenze restano vacue e il" se allora "è soddisfatto.
E solo per chiarire la terminologia: "$\Delta$ soddisfacente / insoddisfacente "significa che è possibile / impossibile che tutte le sue affermazioni diventino vere simultaneamente sotto qualsiasi interpretazione, cioè, $\Delta$non è contraddittorio / contraddittorio. Se è solo il caso di una particolare interpretazione in cui tutte / non tutte le affermazioni$\Delta$ sono vere, quindi non lo diciamo $\Delta$è soddisfacente / insoddisfacente, ma solo vero / falso. Lo stesso vale per le singole formule:$\phi$ è vero / falso in una particolare interpretazione e soddisfacente / insoddisfacente se c'è almeno una / nessuna interpretazione in base alla quale è vero.
Un modello di $\Gamma$ in quale $\phi$ è falso non dice nulla sulla dichiarazione $\{\Gamma,\phi\}\vDash\psi$: Che dichiarazione appena dice che$\psi$ è vero in ogni modello di $\Gamma$ e $\phi$, che è effettivamente il caso se $\phi\to\psi$ è vero in ogni modello di $\Gamma$.