Dimostra $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$[duplicare]

Question

Ho bisogno di dimostrare$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$$ma sono al limite del mio ingegno. Ho setacciato il web ma riesco solo a trovare esempi/risposte che dimostrano l'inverso = 0 e ho provato un sacco di metodi da solo senza alcun risultato (termini estesi, L'Hopitals Rule con innumerevoli derivazioni diverse che erano tutte sbagliate). Qualcuno sa indicarmi la giusta direzione, sono completamente bloccato...

Answer 1

Notare che$\log n! = \sum_{k=1}^n \log k$. Disegnando i relativi grafici, puoi vedere:

$$\int_1^n \log x dx \le \sum_{k=1}^n \log k $$

$$\le \int_1^{n+1} \log x dx$$

Ora calcola l'integrale$\int_1^m \log x dx = m \log m - m + 1$, quindi diventa quanto sopra

$$n \log n - n + 1 \le \log n! \le (n+1)\log(n+1)-n$$

E ora otteniamo il tuo risultato dal teorema di compressione, dopo averlo diviso.

Answer 2

$\log(n!)\ge \frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})$e così$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})}$

Quando valuti questo limite del limite superiore, otterresti$2$da$\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{\log(n)}{\log(n/2)} = 1$. Tuttavia, se scegli$\epsilon >1$, vedi

$\log(n!)\ge \frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})$e così$$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})}\rightarrow \epsilon$$

e da allora$\epsilon>1$(arbitrario), puoi concluderlo$$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le 1$$

(puoi facilmente ottenere il limite inferiore) e quindi il limite deve essere$1$.

Answer 3

Usando$$\left( \frac{n}{e}\right)^n \lt n! \lt e \left( \frac{n}{2}\right)^n$$noi abbiamo$$n \log \frac{n}{e} \lt \log n! \lt \log e+ n \log \frac{n}{2}$$

Aggiunta.

Per il lato sinistro il primo passo di induzione è chiaro. Quindi$$(n+1)!=n!(n+1) \gt \left( \frac{n}{e}\right)^n (n+1) = \\ =\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \frac{(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n}{\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}} \gt \left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}$$perché$(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n \left( \frac{n+1}{e}\right)^{-n-1}\gt 1$è equivalente$\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n} \lt e$.

Per il lato destro$$n! \lt \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n} = e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}}{e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}} = \\ =e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n}}{e} \lt e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}$$

Answer 4

$$\displaystyle \frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(x!\right)}=\frac{x\ln\left(x\right)}{\ln\left(\Gamma \left(x+1\right)\right)}$$

Applicando la regola di L'Hôpital,

$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(\Gamma \:\left(x+1\right)\right)}\right)=\lim_{x\to \:\infty \:}\left(\displaystyle \frac{\ln(x)+1}{\psi \:^{\left(0\right)}\left(x+1\right)}\right)$$

Riapplicando, si ottiene

$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\frac{1}{x}}{\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)}\right)=\lim _{x\to \infty }\left(\frac{1}{x\left(\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)\right)}\right)$$

Il denominatore si avvicina a 1 come$x\rightarrow \infty$.