Dimostralo $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$

Question

Dimostralo $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$, dove $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$ è il gruppo di numeri interi modulo $15$ sotto moltiplicazione.

Questa è una domanda che coinvolge il primo teorema di isomorfismo ma non so come usarlo con un prodotto diretto. Ho controllato se i gruppi sono ciclici e ho anche provato a trovare solo le funzioni$f:\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z\to(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$ma questo non mi ha portato da nessuna parte. Se possibile, un suggerimento aiuterebbe.

Answer 1

Lo abbiamo sempre fatto $$ (\Bbb Z/pq\Bbb Z)^{\times}\cong (\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\times (\Bbb Z/q\Bbb Z)^{\times}, $$ per i numeri primi $p$ e $q$ dal CRT (Chinese Remainder Theorem).

Inoltre abbiamo $(\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\cong \Bbb Z/(p-1)\Bbb Z$.

Riferimenti:

$\mathbb Z_{mn}$ isomorfo a $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ ogni volta $m$ e $n$ sono coprimi

Ne è la mia prova $U_{pq}$ non è ciclico se $p$ e $q$ i numeri primi dispari distinti sono corretti?