Dimostrando l'aggiunzione $\text{ev}_0 \dashv r:\mathcal{C}^{\Delta} \to \mathcal{C}$

Question

Lo ricordo $\Delta$ è la categoria i cui oggetti hanno la forma $\textbf{n}=\{0,1,...,n\}$ ei morfismi sono (debolmente) mappe che preservano l'ordine.

Permettere $\mathcal{C}$ essere una categoria e lascia $\mathcal{C}^{\Delta}=[\Delta, \mathcal{C}]$ essere la categoria funtore degli oggetti cosmici in $\mathcal{C}$.

C'è un funtore $\text{ev}_0:\mathcal{C}^{\Delta} \to \mathcal{C}$ che prende un oggetto cosmico $X[-]$ al suo valore a $0$, $X[0]$.

C'è anche un funtore $r:\mathcal{C} \to \mathcal{C}^{\Delta}$ prendere un oggetto $C$ al funtore costante $rC$ tale che $rC[n]=C$ per tutti $n$.

Ho letto l'affermazione che abbiamo un'aggiunta $$\text{ev}_0 \dashv r$$ e vorrei dimostrarlo.

Data una trasformazione naturale $\eta: X[-] \Rightarrow rC$, Posso ovviamente inviarlo alla mappa $\eta_0:X[0]\to C.$

D'altra parte, posso considerare il diagramma $$\cdots\to X[n]\to \cdots \to X[1]\to X[0]$$ qui ciascuno $$\alpha_{n,n-1}:X[n] \to X[n-1]$$ è indotto dalla suriezione $\textbf{n}\to \textbf{n-1}$ invio $n \mapsto n-1$ e $i \mapsto i$ per tutti $i<n$.

Quindi data una mappa $f:X[0] \to C,$ Posso definire induttivamente $$f_0=f$$ $$f_i=f_{i-1}\alpha_{i,i-1}$$

Penso che se provo questa famiglia $\{f_i\}_i$definisce una mappa di insiemi cosmici, cioè una trasformazione naturale, ho finito. Ma non so come farlo rispetto alle mappe generali$X[i]\to X[j].$

Answer 1

Per ciascuno $n$ c'è una mappa unica $!_n : n \to 0$ in $\Delta$. Supporre che$\alpha : X \implies r(c)$è una trasformazione naturale. Poi per naturalezza alla mappa$!_n$, il componente $\alpha_n$ deve essere uguale a $\alpha_0 \circ X(!_n)$. Quindi una trasformazione naturale in$\mathcal{C}^\Delta(X, r(c))$ è completamente determinato da $\alpha_0$.

D'altra parte, se $\alpha_0 : X(0) \to c$ è un morfismo in $\mathcal{C}$ allora possiamo portarlo a una trasformazione naturale $\alpha : X \implies r(c)$ definendo il componente $\alpha_m : X(m) \to c$ essere $\alpha_0 \circ X(!_m)$. Questa è davvero una trasformazione naturale perché se$f:n \to m$ in $\Delta$ poi $\alpha_m \circ X(f) = \alpha_0 \circ X(!_m) \circ X(f) = \alpha_0 \circ X(!_m \circ f) = \alpha_0 \circ X(!_n) = \alpha_n$.