Dimostrare che la funzione è continua$[-1,1]$

Question

$f(x)=\mid{x}\mid$

Permettere$a\in(-1,1)$

$\mid f(x)-f(a)\mid=\mid\mid x\mid-\mid a\mid\mid\leq\mid x-a\mid$

Permettere$\epsilon>0$essere dato e definito$\delta=\epsilon$, Ogni volta che$\mid x-a\mid<\delta,\space \mid f(x)-f(a)\mid<\epsilon.$

$\therefore f(x)$è continua nell'intervallo$(-1,1)$

Anche,$\lim_{x\to-1^+}f(x)=1=\lim_{x\to-1}f(x)$e$\lim_{x\to1^-}f(x)=1=\lim_{x\to1}f(x)$

$\therefore f(x) $è continua sul lato destro di$-1$e sul lato sinistro di$1$.

Quindi, concludiamo che$f(x)=\mid x\mid$è continua nell'intervallo$[-1,1]$.

La mia dimostrazione è corretta?

Answer 1

La tua dimostrazione sembra corretta. Direi che dovresti includere parole nella dimostrazione per spiegare cosa si sta facendo.

Puoi, infatti, dimostrare qualcosa di un po' più generale. Permettere$I \subseteq \mathbb{R}$essere un intervallo tale che$f: I \to \mathbb{R}$è continuo. Quindi$|f|$è continuo.

Permettere$\epsilon > 0$essere dato e lasciato$a \in I$essere il nostro punto di interesse. Allora vogliamo dimostrare che:

$$\exists \delta > 0: |x-a| < \delta \implies | |f|(x)-|f|(a) | < \epsilon$$

Tuttavia, lo notiamo$|f|(x) := |f(x)|$. Per la disuguaglianza del triangolo inverso, è il caso che:

$$| |f(x)| - |f(a)| | \leq |f(x)-f(a)|$$

Sappiamo che il desiderato$\delta_1 > 0$esiste quando abbiamo:

$$|f(x)-f(a)| < \epsilon$$

Quindi, scegliamo semplicemente il nostro richiesto$\delta = \delta_1$e abbiamo finito.