Dimostrare / confutare: $A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$ per $A \geq B$

Question

Per $A \geq B$, entrambi sono numeri interi strettamente positivi, è vero quanto segue? $$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$$

Ho provato la tecnica utilizzata per dimostrare una domanda molto simile: Dimostrare / Confutare:$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq (\lfloor A/B \rfloor + 1) \times B$ per $A \geq B$

Ma sembra che non abbia funzionato per dimostrarlo. Ho anche provato a generare empiricamente A e B casuali, ma non riesco a trovare un controesempio.

Answer 1

$\newcommand{f}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$ Permettere $B = 100$ e $A = 199$. Quindi: \ begin {align *} LHS & = 199 - 1 - 2 = 196 \\ RHS & = 1 (100 + 1) = 101 \ end {align *} Quindi la disuguaglianza è falsa.

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EDIT : In risposta al commento di OP, supponiamo di limitare ulteriormente questo$\f{A/B} \geq N$ per alcuni $N \in \Bbb{Z}^+$. Permettere$B = 3N + 3$, e lascia $A = (N + 1)(3N + 3) - 1$. Chiaramente$A \geq B$ e $\f{A/B} = N$. \ begin {align *} LHS & = (N + 1) (3N + 3) - 1 - N - (N + 1) \\ & = (N + 1) (3N + 1) \\ \ end {align * } \ begin {align *} RHS & = N (3N + 4) \\ & = N (3N + 1) + 3N \\ & = (N + 1) (3N + 1) - (3N + 1) + 3N \\ & = (N + 1) (3N + 1) - 1 <LHS \ end {align *} Quindi la disuguaglianza fallirà comunque.