Dimostrare$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 1$è falso
$$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 1$$
Dato$\epsilon > 0$ $$\left|\frac{1}{x} - 1\right| < \epsilon.$$Riscrivilo come$$-\epsilon < \frac{1}{x} - 1 < \epsilon$$ $$-\epsilon + 1< \frac{1}{x} < \epsilon + 1$$Se epsilon è molto piccolo, allora su entrambi i lati ci stiamo avvicinando al valore$1$, ma la funzione si avvicina a zero, quindi entrambi i membri sono falsi. Se$\epsilon$è grande, quindi sul lato destro stiamo ottenendo un grande valore positivo, ma con$ n \in (0,1)$anche la funzione diventa più grande. Quindi il lato destro fallisce. È una prova del suono? E se sì, come lo riscriverei con simboli matematici?
Risposte
Lo accetterei, perché so cosa intendi per molto piccolo. Tuttavia, in questo caso è meglio precisare cosa si intende. Se usiamo 1/2 e let$x>2$, poi$1/x<1/2$. Quindi non possiamo avere$1/x\to1$.
Onestamente, il lato destro non ha importanza in questo caso. Abbiamo solo bisogno di rompere una delle disuguaglianze per dimostrare che la convergenza non regge. Ma in ogni caso è sempre vero per$x\geq1$Quello$1/x<1+\epsilon$, quindi vale la disuguaglianza giusta.
La tua argomentazione che$\frac 1x$va a$0$ha bisogno di essere provato e questo è fondamentalmente ciò che si chiede di dimostrare; dimostrare$\frac 1x$ non va a$1$.
E se lo provi$\lim_{x\to \infty} \frac 1x = 0$(cosa che fa-- vedi addenda) non è sufficiente perché sebbene la notazione limite$\lim_{x\to \infty}f(x) = L$ sembra un'uguaglianza, in realtà significa per ogni$\epsilon > 0$C'è un$N$affinché$x > N \implies |f(x) - L| < \epsilon$e non sappiamo che non possono essercene due così$L$S. (Anche se possiamo e lo dimostriamo molto presto, vedi addenda).
Ecco un suggerimento:$|\frac 1x - 1| =|1-\frac 1x|= |\frac {x-1}x|$.
quindi se$|\frac 1x - 1|<\epsilon$poi$-\epsilon < \frac {x-1}x < \epsilon$. Ora come$x\to \infty$possiamo supporre$x > 1$Così$-\epsilon x < 0 < x-1 < x\epsilon$
$x-x\epsilon=x(1-\epsilon) < 1$
Se scegliamo un$\epsilon$affinché$0<\epsilon < 1$noi abbiamo$x < \frac 1{1-\epsilon}$.
Bene, questo pone un limite massimo$x$il che lo contraddice$x \to \infty$quindi è impossibile.
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Aggiunte:
Reclamo:$\lim_{x\to \infty} \frac 1x = 0$.
Pf: Per qualsiasi$\epsilon >0$Permettere$N =\frac 1{\epsilon}$(che è positivo). Se$x > N$poi$|\frac 1x -0| = \frac 1x < \frac 1N =\epsilon$.
Reclamo: Se$\lim_{x\to \infty} f(x) = L$e$M \ne L$poi$\lim_{x\to \infty} f(x)= M$non è vero.
Dimostrazione: Se$L \ne M$poi$|L - M| > 0$. Permettere$\epsilon = \frac {|L-M|}2$
Se$|f(x) - M| < \epsilon$e$|f(x) - L| < \epsilon$poi
$|L - M| = |(L - f(x)) + (f(x) - M)| \le |L-f(x)| + |f(x)-M| < \epsilon + \epsilon = |L-M|$
Così$|L-M| < |L-M|$il che è impossibile. Quindi non ci sono$N$o$N'$in modo che se$x >N$e$x > N'$(cioè$x > \max(N,N')$poi$|f(x)-L| < \epsilon$e$|f(x) -M| < \epsilon$in quanto ciò è impossibile.
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Quindi se non volevi dimostrarlo come ho fatto io nel corpo di questo post, puoi invece dimostrare che i limiti, quando esistono, sono unici. E quello$\lim_{x\to \infty}\frac 1x =0$e quello$0 \ne 1$quindi la denuncia$\lim_{x\to \infty}\frac 1x = 1$è falso.
Dato$\epsilon > 0$assumere wlog$x>1$e$\epsilon<1$poi
$$\left|\frac{1}{x} - 1\right| < \epsilon \iff1-\frac1x < \epsilon \iff \frac1x>1-\epsilon \iff x<\frac1{1-\epsilon }$$
allora la disuguaglianza fallisce per qualsiasi$x\ge M=\frac1{1-\epsilon }$.
Proprio come metodo di dimostrazione alternativo, considera l'integrale improprio$$I=\lim_{x\to\infty}\displaystyle\int_{1}^{x} \frac{1}{t^2}\,dt$$
Lo sappiamo da allora$t^2\geq 0$per tutti$t\in\mathbb{R}$, e in questo caso,$t\geq 1>0$, quindi abbiamo quello$1\geq \frac{1}{t^2}>0$, il che implica che la funzione nell'integranda è strettamente positiva sull'intervallo$[1,\infty)$, quindi anche l'integrale dovrebbe essere strettamente positivo, cioè$I>0$. Dopo aver calcolato, lo vediamo$$I=\lim_{x\to\infty} -\frac{1}{t}\bigg|_{t=1}^{t=x} = \lim_{x\to\infty}-\frac{1}{x}+1=\lim_{x\to\infty}-(\frac{1}{x}-1)=-(1-1)=0\not>0$$
Quindi, l'ipotesi che$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=1$è falso.
Per dimostrare che l'affermazione è falsa, trova an$\epsilon$che non ha un corrispondente$x^\star$, tale che ogni volta$x \geq x\star$,$| \frac{1}{x} - 1 | < \epsilon$non regge. Supponiamo$L = 1$e lascia$\epsilon = \frac{1}{2}$. Considera quando$x^\star \geq 1$, poi\begin{align*} | \frac{1}{x} -1 | \geq \frac{1}{2} \end{align*}
Ogni volta che$x \geq 2$. Considera quando$x^\star <1$, poi\begin{align*} |\frac{1}{x} -1 | \geq \frac{1}{2} \end{align*}Ogni volta che$x \geq 2$.
Quindi, non esiste un$x^\star$per$\epsilon = \frac{1}{2}$. Pertanto, deve essere certamente falso che il limite sia$1$.