Dimostrare o smentire formalmente: $(\forall x F) \lor G \vDash \forall x (F \lor G)$

Question

Voglio dimostrare formalmente che questa affermazione è falsa o vera. Penso che sia falso, perché$G$ potrebbe contenere la variabile $x$ non legato e per qualche interpretazione $\mathcal A$, $G$ potrebbe essere vero per alcuni $x$ mentre $(\forall x G)$ è falso e $(\forall x F)$è falso. Così$(\forall x F) \lor G$ restituisce true, while $\forall x (F \lor G)$ restituisce falso, quindi $(\forall x F) \lor G \nvDash \forall x (F \lor G)$ per la stessa interpretazione $\mathcal A$.

Tuttavia, sono in dubbio che il mio ragionamento sia corretto e non so come dimostrarlo formalmente.

Answer 1

Supponendo che nel tuo sistema alle formule con variabili libere possa essere assegnato un valore di verità relativo a una funzione di assegnazione, hai ragione con il tuo sospetto che $G$ potrebbe essere vero per un oggetto ma non per un altro.

Supponiamo $F$ ha una variabile libera, $F(x)$, e $G$ ha una variabile libera, $G(x)$. Considera il modello del contatore$\mathcal{M} = \langle D, \mathcal{I} \rangle$ con $D = \{a, b\}, \mathcal{I}(F) = \emptyset, \mathcal{I}(G) = \{a\}$ e funzione di assegnazione $v : x \mapsto a$.

Allora, da allora $v(x) = a \in \mathcal{I}(G)$, ce l'abbiamo $\mathcal{M}, v \vDash G(x)$, così $\mathcal{M}, v \vDash (\forall x F(x)) \lor G(x)$.
Ma da allora$b \not \in \mathcal{I}(F)$ e $b \not \in \mathcal{I}(G)$, vale per la variante di assegnazione $v'$ di $v$ con $v': x \mapsto b$ quello $\mathcal{M}, v' \not \vDash F(x) \lor G(x)$, quindi $\mathcal{M}, v \not \vDash \forall x (F(x) \lor G(x))$.
Poiché ci sono istanze di formula, una struttura e una funzione di assegnazione tali che la formula della premessa sia vera ma la conclusione no, lo schema di inferenza non vale.

Answer 2

Nella dichiarazione $(\forall x F) \vee G$, $G$ non rientra nell'ambito di un quantificatore su $x$. Ciò significa che, se questa è una frase che può essere valutata come "vera" o "falsa",$G$ non deve includere $x$. Il che significa che quando metti un quantificatore$x$ di fronte ad esso, come in $(\forall x)G$, il risultato è controintuitivo: il quantificatore non ha effetto!

Come semplice esempio, $G$ potrebbe essere "il cielo è blu". $(\forall x)G$ sarebbe quindi "non importa cosa $x$ è, il cielo è blu ". Ma se il cielo è blu non dipende dal nome dell'oggetto"$x$", così $(\forall x)G$ è vero esattamente quando $G$ è.

Consiglierei, per questo, di pensare a cosa succede per un particolare $x$, dì $a$. Supporre che$(\forall x F) \vee G$è vero. Puoi dimostrarlo$F(a) \vee G$è vero? Se è così, da allora$a$ è stato scelto arbitrariamente, deve essere quello $(\forall x)(F \vee G)$ è vero.