Discuti l'esistenza e l'unicità di un problema di Cauchy

Question

Non so cosa stia succedendo con questo esercizio. Ho bisogno di aiuto perché sono abbastanza perplesso.

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Considera il problema di Cauchy

\ begin {cases} y '= \ frac {2} {t} y + 2 t \ sqrt {y} \\ y (1) = 0 \ end {cases}

Studia l'esistenza e l'unicità

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Qui $$f(t,y)=\frac{2}{t} y + 2 t \sqrt{y}$$ Da $y\geq0$ (Ho la radice quadrata), considero quartiere aperto $K = \{t: |t-1|< r_1 \} \times \{y: 0 < y < r_2 \}$, ma in questo modo sono nei guai con $$f_y(t,y)= \frac{2}{t} + \frac{t}{\sqrt{y}}$$ perché è discontinuo a $y=0$.

Quindi dovrei cercare una condizione più debole come continuità di Lipschitz: prendo $(t,y_1)$ e $(t,y_2)$ nel $K$:

$$|\frac{2}{t} \bigl(y_1 - y_2 \bigr) + 2t \bigl( \sqrt{y_1} - \sqrt{y_2} \bigr)| \leq |\frac{2}{t} \bigl(y_1 - y_2 \bigr)| + |2t \bigl( \sqrt{y_1} - \sqrt{y_2} \bigr)| $$

ma il secondo termine della disuguaglianza è piuttosto problematico: è come dimostrarlo $x \mapsto \sqrt{x}$ è Lipschitz per $x\geq0$, che è noto per essere falso.

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Quindi, non posso applicare il teorema in realtà ... Mi sbaglio? In caso affermativo, quali sono i miei errori?

Answer 1

Il rhs $f(t,y)$, definito in $\Omega := (0, +\infty) \times [0,+\infty)$, è continuo in $\Omega$ma non è localmente Lipschitz continuo. Quindi, il teorema di Peano garantisce l'esistenza locale, ma l'unicità non ha bisogno di valere (e, anzi, nel nostro caso abbiamo più di una soluzione).

Ulteriore, $f$ è sublineare in $y$, intendendo che $|f(t,y)| \leq a(t) + b(t) |y|$ per alcune funzioni continue $a, b \in C((0,+\infty))$, in modo che tutte le soluzioni siano globali (il che significa che ogni soluzione ammette un'estensione su $(0,+\infty)$).

Calcoliamo le soluzioni del problema di Cauchy dato. Una soluzione è la funzione costante$y(t) = 0$, $t\in (0,+\infty)$.

Altre soluzioni si biforcano dalla soluzione costante a un certo punto $\tau \geq 1$. Per trovarli, calcoliamo prima le soluzioni strettamente positive dell'equazione differenziale. Con il cambio di variabile$z = \sqrt{y}$ siamo lasciati all'equazione lineare $z' = z/t + t$, le cui soluzioni sono della forma $z(t) = ct + t^2$, per qualche costante $c\in \mathbb{R}$. Ricordiamo che siamo interessati solo a soluzioni positive definite in qualche sottointervallo di$(0,+\infty)$. Il corrispondente$y$ sono quindi della forma $$ y_\tau (t) = t^2 (t- \tau)^2, \qquad t > \max\{\tau, 0\}, $$
dove $\tau$è un parametro reale. Si vede facilmente che, se$\tau \geq 1$, poi $y_\tau$ può essere prolungato a sinistra con il $0$ soluzione, ottenendo la soluzione globale del problema di Cauchy $$ y_\tau(t) := \begin{cases} 0, & \text{if}\ t \in (0, \tau], \\ t^2(t-\tau)^2, & \text{if}\ t > \tau\,. \end{cases} $$ In conclusione, per ogni $\tau \geq 1$la funzione di cui sopra è una soluzione del problema di Cauchy. (Questa famiglia di soluzioni è chiamata pennello Peano.)