Distanza massima percorsa con un movimento del proiettile ideale
In un movimento del proiettile, considera il proiettile da cui partire $(0,0)$come tracciato su assi cartesiani. Quindi la traiettoria è data da$$y=x \tan \theta \big(1-x/R)$$ dove $\theta$ è misurato da $x$ asse e la gravità agisce lungo $y$ asse, $R$ sta per la portata massima che può variare con la velocità iniziale che ha una grandezza di $v$.
Utilizzando la formula della lunghezza dell'arco di una curva generale, $$dl=\int\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}\ dx$$ otteniamo la distanza percorsa come integrale della forma D =$\sqrt{ax^2+bx+c}$
Un modello interattivo può essere trovato qui.
La mia domanda: come faccio a trovare in quale angolo$\theta$ la distanza percorsa dal proiettile sarà massimizzata, dato un valore fisso $v$.
Ho provato a farlo $$\frac{d}{d \theta}D=0$$ ma mi ha dato uno sconosciuto $\frac{dx}{d \theta}$, Non sono in grado di avvicinarmi ulteriormente, quindi ho creato un grafico qui e ho scoperto che è vicino a$56.4^\circ$ ma non sono sicuro che sia stato risolto.
Risposte
Il tuo metodo non è poi così male all'inizio, tranne per il fatto che sembra che tu l'abbia ignorato (o almeno non dichiarato chiaramente) $R$ dipende da $\theta$e questo è ciò che rende questo problema abbastanza difficile da risolvere. Se ti ho capito bene, vorresti trovare il valore di$\theta$ (per una velocità fissa $u$) che massimizza la lunghezza totale del proiettile in aria. In questo caso, prendendo derivati come$\frac{\text{d}x}{\text{d}\theta}$non è sensato. Le variabili che vuoi massimizzare rispetto a sono$a,b,$ e $c$, dal momento che ti integrerai $x$!
Nonostante inizialmente fossi convinto che questo problema dovesse avere un semplice risultato analitico, sembra che non sia così! Per quanto posso vedere, per risolverlo veramente, è necessario utilizzare metodi numerici. Se qualcuno conosce un modo migliore, sarei molto interessato. Lascia che ti spieghi cosa ho fatto.
Ho deciso di fare le seguenti ipotesi:
La velocità totale (una costante) è 1. Questo non è un problema, ho solo scelto le unità in cui $u=1$, che è perfettamente accettabile.
Vorrei solo variare $u_y$, dato il vincolo di cui sopra. Il valore di$u_x$ sarà risolto da $\sqrt{1 - u_y^2}$.
Come hai sottolineato (ma formulato in modo leggermente diverso) la lunghezza totale coperta dal proiettile è:
$$L = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)^2} \text{d}t$$
(In questo caso, ho scelto di parametrizzare la curva in base al tempo $t$, da cui integro $t=0$ per $t=2 u_y/g$, che può essere facilmente indicato come il tempo totale di volo. Potresti farlo anche a modo tuo.)
Utilizzando il fatto che
\ begin {equation} \begin{aligned} y &= u_y t - \frac{1}{2}g t^2,\\ x &= u_x t, \end{aligned} \ end {equation}
è facile dimostrarlo
$$L = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{(u_y-gt)^2 + u_x^2} \,\,\text{d}t = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{u^2 - 2u_y g t + g^2 t^2} \,\,\text{d}t.$$
In momenti come questo, è utile "adimensionalizzare" l'equazione, in modo che i limiti non dipendano $u_y$. Possiamo definire un tempo "adimensionale"$$\tau = \frac{g}{2u_y}t,$$ in modo che l'integrale diventi:
$$L = \frac{2}{g} \int_{0}^{1}u_y\sqrt{u^2 - 4 u_y^2 \tau + 4 u_y^2 \tau^2} \,\,\text{d}\tau,$$
che è piuttosto un brutto integrale da risolvere a mano. Forse le persone di Math.SE sarebbero in grado di rendergli giustizia? Ho deciso di usare Mathematica per risolverlo .
Per prima cosa ho integrato la funzione numericamente e ho tracciato l'integrale per diversi valori di $u_y$ come mostrato di seguito, ed è stato sorpreso di trovarlo $L$ aveva un valore massimo (il mio pensiero iniziale forse era che non lo fosse) per $u_y$ da qualche parte tra 0,82 e 0,84.
Detto questo, ho chiesto a Mathematica di integrare la funzione e l' ho trovato
$$L = \frac{1}{4}\left( 2 u u_y + (u_y^2 - u^2) \ln\left({\frac{u - u_y}{u+u_y}}\right)\right).$$
Non c'è nulla che ci impedisca di utilizzare unità dove $u=1$ e quindi $u_y \in (0,1)$e in queste unità
$$L= \frac{1}{4}\left( 2 u_y + (u_y^2 - 1) \ln\left({\frac{1 - u_y}{1+u_y}}\right)\right).$$
Successivamente, ho tentato di massimizzarlo in funzione di $u_y$ prendendo la derivata ed equiparandola a zero, il che porta a:
$$2 + u_y \ln\left({\frac{1 - u_y}{1 + u_y}}\right) = 0.$$
Questa è un'equazione trascendentale e come tale non facilmente risolvibile. Ma non è troppo difficile risolverlo numericamente per trovarlo$L$ è massimizzato quando $$u_y = 0.833557,$$
che si trova nella gamma che ci aspettavamo. Ciò corrisponde a un angolo di$$\theta = \arctan{\frac{u_y}{\sqrt{1 - u_y^2}}} = 0.985516 \text{ rad} \approx 56.466^\circ.$$