Domanda in Milnor&Stacheff - Classi caratteristiche, costruzione di classi Chern
Il seguente paragrafo è estratto dal libro:
Daremo ora una definizione induttiva di classi caratteristiche per un complesso$n$-fascio aereo$\omega=(\pi: E\to M)$. Se è necessario prima costruire un canonico$(n-1)$-fascio aereo$\omega_0$sullo spazio totale cancellato$E_0$. ($E_0$denota l'insieme di tutti i vettori diversi da zero in$E$.) Un punto in$E_0$è specificato da una fibra$F$di$\omega$insieme a un vettore diverso da zero$v$in quella fibra Supponiamo innanzitutto che sia stata specificata una metrica hermitiana$\omega$. Poi la fibra di$\omega_0$è per definizione il complemento ortogonale di$v$nello spazio vettoriale$F$. Questo è uno spazio vettoriale complesso di dimensione$n-1$, e questi spazi vettoriali possono chiaramente essere considerati come le fibre di un nuovo fibrato vettoriale$\omega_0$Sopra$E_0$.
Domanda: ho capito come lo spazio totale di$\omega_0$è definito. Ma come viene definita la topologia dello spazio totale? Non se ne parla.
Risposte
Considera le seguenti mappature:
$\require{AMScd}$ \begin{CD} \pi^*E @>>> E\\ @V \bar\pi VV @VV \pi V\\ E @>>\pi> M \end{CD}
che induce un fascio pullback$\bar \pi : \pi^*E \to E$, dove per ciascuno$v\in E$,$$\bar\pi^{-1} (v) = \pi^{-1} (\pi(v)).$$(cioè, la fibra è solo la fibra$F_x$, dove$x = \pi(v)$).$\pi^*E$è data la topologia del bundle di pullback. Da$E_0$è un sottoinsieme di$E$, la restrizione fornisce un bundle
$$\tag{1} \bar\pi \big|_{\bar\pi^{-1}(E_0)} : \pi^*E\big|_{\bar\pi^{-1}( E_0)} \to E_0$$
e il mazzo$\omega_0$costruito nel libro è un sottoinsieme di (1). Inoltre ha la topologia del sottospazio data da (1).