Dubbio relativo alla dimostrazione di un teorema sulla dimensione delle fibre.

Aug 16 2020
  1. $f:X \rightarrow Y$essere un morfismo di varietà tale che per ciascuno$p\in Y,\, \dim f^{-1}(p) = n$. Quindi$\dim X=\dim Y+n$. Nella dimostrazione di questo teorema se sostituisco$X$da un insieme aperto affine perché la dimensione della fibra è la stessa. Spiega per favore.
  2. $f:X \rightarrow Y$essere un morfismo di varietà affini tale che per ciascuna$p\in W,\, \dim f^{-1}(p) =n$per qualche sottoinsieme denso$W$di$Y$. Quindi$\dim X= \dim Y+n$. Ho provato a scrivere una prova di ciò che è la seguente:

Dimostrazione per induzione su$\dim Y$. Niente da dimostrare quando$\dim Y=0$. Permettere$X \subseteq A^{r}, Y \subseteq A^{m}$essere sottovarietà chiuse.$f=(f_{1},...,f_{m})$, dove$f_{i} \in K[x_{1},...,x_{r}]$.

Permettere$F \in K[x_{1},...,x_{m}] \setminus I(Y)$.$\quad Y^{'}=Y \cap Z(F)$.

$X^{'}=f^{-1}(Y^{'})=X \cap Z(F(f_{1},...,f_{m}))$.$\quad F(f_{1},...,f_{m}) \in K[x_{1},...,x_{r}] \setminus I(X)$.

$\widetilde{X}$essere una componente irriducibile di$X^{'}$.$\quad \dim \widetilde{X}=\dim X-1$.

Esiste una componente irriducibile$\widetilde{Y}$di$Y^{'}$tale che$\quad f(\widetilde{X}) \subseteq \widetilde{Y}$.$\quad \dim \widetilde{Y}=\dim Y-1$.

Ritenere$f:\widetilde{X} \rightarrow \widetilde{Y}$.

Come posso concludere che la fibra è la stessa? Si prega di risolvere questo problema.

Risposte

MattKeller Aug 20 2020 at 19:24

Supponiamo qui l'irriducibilità.

  1. Poiché le aperture affini sono dense, limitandosi a un'apertura affine, o perdi completamente una fibra o una fibra diventa semplicemente un altro sottoinsieme denso di se stessa (quindi non cambia dimensione). Per un'immagine in mente, considera la banale proiezione$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^1$, dove ogni fibra è una copia di$\mathbb{P}^1$. Se ti limiti a un open affine$\mathbb{A}^1\times\mathbb{A}^1$, la fibra diventa$\mathbb{A}^1$o vuoto (oltre l'infinito).

  2. Intuitivamente, se si considera la mappa algebrica$f^*:B=\Gamma(Y)\to A=\Gamma(X)$, quindi qualsiasi ideale massimale generico$\mathfrak{m}$è mappato su un ideale primo$P$che può essere esteso a una catena$P\subset P_1\subset\cdots \subset P_n$. Notare che$f^*$dovrebbe essere iniettivo (non proprio, ma supponiamo che qui), quindi l'ideale massimale ha una catena$P'_0\subset\cdots\subset P'_{\text{dim}(Y)}=\mathfrak{m}$, e l'immagine di quei numeri primi è ancora primo; quindi hai una lunga catena di lunghezza$\dim(Y)+n$in$\Gamma(X)$. Non sono sicuro che completare questo a una prova completa sia più facile ...