Due versioni del teorema spettrale?
Sto studiando il Teorema spettrale (per operatori autoaggiunti limitati) da solo e sto seguendo il bel libro di Nik Weaver . Permettetemi di introdurre prima alcune notazioni.
Notazioni: If$\mathcal{H}$ è uno spazio di Hilbert, $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ è lo (spazio di Banach) di tutti gli operatori lineari limitati $A: \mathcal{H} \to \mathcal{H}$. Se$A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, $\mbox{sp}(A)$ è lo spettro di $A$.
Adesso molla $(X, \mathcal{F},\mu)$ essere un $\sigma$-spazio di misura finito. Un misurabile fagotto di Hilbert$X$ è un'unione disgiunta: $$\mathcal{X} = \bigcup_{n\in \mathbb{N}}(X_{n}\times \mathcal{H}_{n}) $$ dove $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ è una partizione misurabile di $X$ e, per ciascuno $0 \le n \le \infty$, $\mathcal{H}_{n}$ è uno spazio di Hilbert con dimensione $n$.
Finalmente, $f: X \to \mathcal{H}$ è debolmente misurabile se la funzione $x \mapsto \langle f(x),v\rangle$ è misurabile per ogni $v \in \mathcal{H}$. Indichiamo$L^{2}(X;\mathcal{H})$ l'insieme di tutte le funzioni debolmente misurabili $f: X \to \mathcal{H}$ tale che: $$||f|| := \int_{x}||f(x)||^{2}d\mu(x) < +\infty $$funzioni modulo che sono zero quasi ovunque. Questo è uno spazio Hibert con prodotto interno:$$\langle f,g\rangle := \int_{x}\langle f(x),g(x)\rangle d\mu(x) $$ Se $f \in L^{2}(X;\mathcal{H})$, $M_{f}$ è l'operatore moltiplicato per $f$. Anche,$L^{2}(X;\mathcal{X}) := \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}L^{2}(\mathcal{X}_{n};\mathcal{H}_{n})$.
Ora, l'affermazione del Teorema spettrale in questo riferimento è la seguente.
Teorema: Let$\mathcal{B}(\mathcal{H})$essere autoaggiunto. Quindi esce una misura di probabilità$\mu$ sopra $\mbox{sp}(A)$, un fascio di Hilbert misurabile $\mathcal{X}$ al di sopra di $\mbox{sp}(A)$ e un isomorfismo isometrico $U: L^{2}(\mbox{sp}(A);\mathcal{X}) \to \mathcal{H}$ tale che $A = UM_{x}U^{-1}$.
Tuttavia, sono più interessato a un'altra versione di questo teorema, che è affermato nel libro di Dimock e dice (con notazione adattata)
Teorema: Let$A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$essere autoaggiunto. Quindi, esiste uno spazio di misura$(\mathcal{M},\mathcal{\Omega},\mu)$, una funzione misurabile limitata $\tau: \mathcal{M}\to \mathbb{R}$ e un operatore unitario $U: \mathcal{H}\to L^{2}(\mathcal{M},\mu)$ tale che $A = UM_{\tau}U^{-1}$.
Domanda: come posso ottenere la versione di Dimock del teorema spettrale dalla versione di Weaver di esso?
Risposte
Permettere $\mathcal{M}$ essere un'unione disgiunta composta da $n$ copie di $X_n$ per ciascuno $n$. La misura data$\mbox{sp}(A)$ si limita a una misura su $X_n$ e quindi induce una misura $\mathcal{M}$. C'è quindi un isomorfismo$L^2(\mathcal{M})\cong L^2(\mbox{sp}(A);\mathcal{X})$: se scegli una base ortonormale per ciascuno $\mathcal{H}_n$, poi $L^2(X_n;\mathcal{H}_n)$ è solo una somma diretta di $n$ copie di $L^2(X_n)$e quando prendi la somma diretta di questi su tutto $n$ ottieni $L^2(\mathcal{M})$. Questo isomorfismo$L^2(\mathcal{M})\cong L^2(\mbox{sp}(A);\mathcal{X})$ trasforma la moltiplicazione per $x$ sopra $\mbox{sp}(A)$ alla moltiplicazione per la funzione $\tau$ sopra $\mathcal{M}$ che è dato dalla funzione di inclusione $X_n\to\mathbb{R}$ su ogni copia di ciascuno $X_n$.
(In alternativa, senza usare direttamente la versione di Weaver, la versione di Dimock segue usando la stessa dimostrazione di Weaver ma usando il suo Teorema 3.4.2 invece del Corollario 3.4.3. Weaver stesso commenta questo (poiché si applica nel caso non separabile come bene) all'inizio della pagina 62.)