È $C^{*}$-algebra il modo più moderno per studiare QFT?
Non sono un esperto di QFT o $C^{*}$-algebre, ma sto cercando di imparare le basi della QFT. In tutti i libri / articoli e altri materiali che conosco, la QFT viene studiata principalmente utilizzando molte analisi funzionali e teoria della distribuzione, ma so che vengono utilizzate anche alcune costruzioni algebriche, e in questo contesto$C^{*}$-algebre sembrano essere lo strumento più moderno. Allora, cosa dovrebbe sapere uno studente inesperto come me di questi approcci alla QFT e alla meccanica statistica? Qual è il ruolo di$C^{*}$-algebre e altri metodi algebrici in quelle teorie? Quali sono i problemi che si adattano meglio? Se mi piacerebbe studiare QFT, devo imparare$C^{*}$-algebra? Ci sono problemi in cui i metodi algebrici non si adattano bene? Ci sono problemi in cui entrambi gli approcci sono fruttuosi? Cosa si perde non conoscendo queste costruzioni algebriche?
ADD: Lavoro con una meccanica statistica rigorosa, ma sto cercando di imparare un po 'di QFT perché ... beh, queste sono due aree correlate a un certo livello. Tuttavia, non so ancora cosa o quanto ho bisogno di imparare su QFT. Ho un background in analisi funzionale e teoria della distribuzione, ma non in$C^{*}$-algebra. Come studente inesperto, sarà molto utile avere un quadro generale, cioè quali sono i problemi che si sta cercando di risolvere in QFT e dove entrano in gioco ciascuno di questi approcci. Penso che ciascuno di questi strumenti sia applicabile a diversi tipi di problemi o anche a diverse sottozone della teoria, ma non lo so con certezza.
Risposte
Il mio lavoro di dottorato ha utilizzato le algebre C * abbastanza pesantemente, quindi immagino di poter vantare una certa esperienza in questo campo, ma non sono un esperto in QFT. Questa sarà la prospettiva principale della mia risposta.
Un buon punto di partenza per questa discussione è il teorema di Stone-von Neumann, un risultato fondamentale sia nelle algebre degli operatori che nella meccanica quantistica. L'impostazione è fondamentalmente il principio di indeterminazione di Heisenberg, che afferma che le operazioni di misurazione della posizione$x$ e lo slancio $p$ di un sistema quantistico non pendolari:
$$[x,p] = 2\pi i h$$
Un'importante domanda matematica sulla meccanica quantistica nella sua storia iniziale era: che tipo di oggetti sono$x$ e $p$? I fisici vogliono che siano operatori autoaggiunti su uno spazio di Hilbert, ma puoi provare rigorosamente che nessuna coppia di operatori limitati ha questa proprietà. Questo risultato appartiene alla teoria delle rappresentazioni delle algebre di Lie - essenzialmente, l'algebra di Lie con due generatori e la relazione di cui sopra non ha rappresentazione da operatori autoaggiunti limitati sullo spazio di Hilbert.
L'idea di Stone e von Neumann era di concentrarsi sul gruppo di Lie piuttosto che sull'algebra di Lie; la relazione di cui sopra è la derivata a 0 della seguente relazione tra operatori di evoluzione temporale$U(t)$ e $V(s)$:
$$U(t) V(s) = e^{-ist} V(s) U(t)$$
Il gruppo di Lie generato da tale $U$ e $V$è chiamato gruppo di Heisenberg , e il teorema di Stone-von-Neumann afferma che questo gruppo ha una rappresentazione unitaria unica sullo spazio di Hilbert, fino all'equivalenza unitaria (e alcuni aggettivi che non entrerò qui). Ciò fornisce una buona base per la meccanica quantistica di base che unifica le immagini di Heisenberg e Schrödinger della teoria in un insieme di assiomi.
Per gestire sistemi quantistici più complicati, dobbiamo generalizzare a più operatori che soddisfino relazioni possibilmente più complicate. Ecco come funziona questa generalizzazione:
- Inizia con un gruppo compatto locale $G$; per il teorema originale di Stone-von-Neumann,$G = \mathbb{R}$.
- La trasformata di Fourier determina e isomorfismo $C^*(G) \to C_0(\hat{G})$, dove $C^*(G)$ è il gruppo C * -algebra e $\hat{G}$ è il Pontryagin dual.
- Un tale isomorfismo è equivalente a una rappresentazione unitaria dell'algebra del prodotto incrociato $C_0(G) \rtimes G$.
- Tutte le irreps di questa C * -algebra sono unitariamente equivalenti.
Quindi ora abbiamo la meccanica quantistica per sistemi con molte particelle. Ma per quanto riguarda QFT? Il motivo fondamentale per cui la QFT è difficile, a quanto ho capito, è che il teorema di Stone-von-Neumann non è più vero.
Per la meccanica quantistica ordinaria, gli spazi delle fasi classici sono varietà di dimensioni finite - per esempio, lo spazio delle fasi classico di una singola particella che vola in $\mathbb{R}^3$ è $\mathbb{R}^6$. L'analogo classico dello spazio delle fasi nella teoria quantistica dei campi, tuttavia, è lo spazio dei percorsi in$\mathbb{R}^3$, che è una sorta di varietà infinita dimensionale. Ciò significa che infinitamente molti operatori con infinitamente molte relazioni di commutazione, e i corrispondenti gruppi di Lie a dimensione infinita, nella misura in cui esistono, hanno una teoria della rappresentazione molto più complicata.
Quindi ora posso provare a rispondere alla tua domanda. Le algebre degli operatori sono state più o meno inventate per fornire un bel modello per la meccanica quantistica. La bella proprietà che ha questo modello - vale a dire, che c'è solo una realizzazione di esso fino all'equivalenza unitaria - non è più vera in QFT. Quindi uno degli obiettivi (impliciti) di molto lavoro in QFT è far fronte a questa situazione e cercare basi migliori. Non ho idea se le algebre C * siano il modo migliore o più moderno di pensare alla QFT - probabilmente no - ma un buon punto di partenza per uno studente è imparare il teorema di Stone-von-Neumann in una ragionevole generalità poiché possiamo incolpare molto della difficoltà di QFT sulla sua assenza.
Ancora una volta, una risposta provvisoria da un non esperto: probabilmente qualcuno che è un vero Maestro Jedi in Fisica Matematica / Operatore Algebre interverrà.
Nella MQ classica, si parte da uno spazio di stati di Hilbert $H$e costruisce da lì osservando tipi speciali di operatori che agiscono $H$(unitario per le simmetrie e hermitiani per le osservabili). Quindi, in un certo senso, le algebre degli operatori sono proprio lì dall'inizio, anche se nella QM classica sembra e si sente come se le entità di base fossero stati (quantistici) e quelle secondarie sono processi (operatori).
Ma penso sia giusto dire che il movimento è stato verso l'inversione dell'ordine, in un certo senso a partire dall'algebra degli operatori astratti e poi modellando l'insieme di stati usando la famigerata dualità di Gelfand. Quello che ho appena abbozzato è una chat da supermercato sulla teoria dei campi quantistici algebrici (puoi trovare un condensato qui ).
Potreste chiedere perché: non ne sono sicuro, ma a me sembra che il movimento verso i processi in opposizione agli stati abbia senso
- matematicamente (ad esempio si collega alla Geometria Non Commutativa di Connes, dove si lavora direttamente su algebre non commutative come se fossero le algebre di funzioni su uno spazio fantasma non commutativo). Le algebre sono abbastanza buone da catturare la topologia e la geometria dello spazio fantasma e si prestano anche a macchinari più astratti
- fisicamente. C'è una crescente consapevolezza che QM / QFT riguarda processi / interazioni, piuttosto che un mondo in cui i sistemi esistono da soli. Si veda, ad esempio, l' interpretazione relazionale di Rovelli , per citare solo un'opzione.
ADDENDUM: quindi, le algebre C * sono lo strumento più recente per QFT? La risposta è: quale QFT hai in mente? Ad esempio, in Quantum Gravity la risposta è decisamente no. La gente gioca con ogni sorta di chicche, dalla teoria delle categorie superiori, alla già citata geometria non commutativa, a ... praticamente qualsiasi cosa sotto il sole, e anche un po 'di più.