È l'isomorfismo naturale in un'aggiunta determinata in modo univoco dalla coppia di funtori aggiunti

Question

Un aggiunzione è una tripla$(F, U, \zeta)$, dove

• $F\colon C\to D$ e $U\colon D\to C$ sono funtori e
• $\zeta$ è un isomorfismo tra i funtori $\operatorname{Hom}(-, U(-))$ e $\operatorname{Hom}(F(-), -)$.

Può succedere che per funtori $F\dashv U$ ci sono due differenti isomorfismi naturali $\zeta$ e $\zeta'$ tale che $(F, U, \zeta)$ e $(F, U, \zeta')$ sono aggiunte?

Quanto può essere diverso $\zeta$ e $\zeta'$essere? Ad esempio, ogni aggiunta$(F, U, \zeta)$ induce un'equivalenza tra le sottocategorie

• $C_{\zeta}:=\{A\in C\mid \eta_A\colon A\to U(F(A))\text{ is an isomorphism}\}\leq C$
• $D_{\zeta}:=\{B\in D\mid \epsilon_B\colon F(U(B))\to A\text{ is an isomorphism}\}\leq D$,

dove $\eta$ e $\epsilon$ sono l'unità e il conteggio indotti da $\zeta$, rispettivamente.

Può succedere $C_{\zeta}\neq C_{\zeta'}$ e $D_{\zeta}\neq D_{\zeta'}$?

Answer 1

Dato un funtore $U:\mathcal D\to\mathcal C$, un aggiunto sinistro $F$ (più l'unità di aggiunta) può essere definito molto più localmente: if for every $x\in\mathcal C$, abbiamo un oggetto iniziale $\eta_x:x\to U(F_x)$nella categoria virgola $(x\downarrow U)$, quindi possiamo fissare una scelta di tale oggetto iniziale per ogni $x$ e compilarli in un aggiunto a sinistra $F:\mathcal C\to\mathcal D$ indotto dall'invio $x\mapsto F_x$, dove sarà l'unità di giunzione $\eta_x$. Questo è discusso nella proposizione 1.9 qui .

In particolare, se per alcuni $x\in\mathcal C$ una scelta di $\eta_x:x\to U(F_x)$è un isomorfismo, quindi tutte le scelte possibili dell'unità$\eta'_x:x\to U(F_x')$devono essere isomorfismi, perché gli oggetti iniziali sono unici fino all'isomorfismo unico. In particolare, per due isomorfismi naturali qualsiasi$\zeta,\zeta':\operatorname{Hom}(-,U(-))\to\operatorname{Hom}(F(-),-)$, avremo $\mathcal C_\zeta=\mathcal C_{\zeta'}$. Dualmente, abbiamo anche$\mathcal D_\zeta=\mathcal D_{\zeta'}$.

Tuttavia, questo rivela anche che la scelta di unità e di conteggio è unica solo per componente fino all'isomorfismo unico (nella categoria virgola appropriata) e quindi non strettamente unica. Poiché l'unità e il valore sono determinati in modo univoco dall'isomorfismo naturale$\zeta:\operatorname{Hom}(-,U(-))\to\operatorname{Hom}(F(-),-)$ (in particolare, $\eta_x:x\to U(F(x))$ è il preimgae sotto $\zeta$ di $\operatorname{id}:F(x)\to F(x)$ e $\epsilon_y:F(U(y))\to y$ è l'immagine sotto $\zeta$ di $\operatorname{id}:U(y)\to U(y)$), questo mostra che l'isomorfismo naturale $\zeta$non sarà nemmeno unico.