È la serie$\sum_\limits{n=1}^\infty\frac{n}{n^3+1}$convergente o divergente? [duplicare]

Question

È la serie$$\sum_\limits{n=1}^\infty\frac{n}{n^3+1}$$convergente o divergente?

La mia risposta è la seguente. Qualcuno sa dirmi se è corretto?

Da$$0<\frac{n}{n^3+1}<\frac{1}{n^2}\;\;,\;\;\;\;\forall n\in\mathbb{N}$$e la serie$$\sum_\limits{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$$è convergente,

applicando il test di confronto, otteniamo che la serie$$\sum_\limits{n=1}^\infty\frac{n}{n^3+1}$$è anch'esso convergente.

Answer 1

Sì, la tua risposta è corretta.

Tutti i termini della tua serie sono positivi e tutti i termini della tua serie sono inferiori a$\frac{1}{n^2}$(per$n\in\mathbb N$).
Da$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$è convergente e tutti i termini della tua serie (e quindi tutte le somme parziali della tua serie) sono sempre minori di quella serie, puoi concludere, con il criterio del confronto, che$\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n^3+1}$è anche convergente.

Answer 2

Permettetemi di aggiungere anche un modo semplice in tali situazioni: se abbiamo serie con membri generali positivi$a_n, b_n$e$a_n \sim b_n$quando$n \to \infty$, allora la serie converge e diverge contemporaneamente. Nel tuo caso$$\frac{n}{n^3+1} \sim \frac{1}{n^2}$$