È possibile avere un preordine con diversi tipi di morfismi?
Non sono un matematico, abbastanza nuovo nella teoria delle categorie e avrei la seguente domanda:
È possibile avere un preordine con diversi tipi di morfismi? Ogni coppia tra ogni oggetto ha ancora un solo morfismo. Tuttavia il morfismo in questione è sempre diverso (tranne il morfismo identitario).
Un esempio informale: seguendo l'approccio di David Spivaks [1] Olog immagina un cane affamato che mangia sempre il cibo acquistato dal suo proprietario.
Assumi tre oggetti: un proprietario di cani O, un cane D e cibo per cani F. Inoltre, presumi quattro morfismi: "possiede", "mangia", "acquista" (abbreviazione di "compra cibo per cani" che è l'unica cosa che compra) e " è".
Ogni oggetto è se stesso, quindi c'è un morfismo "è" da ogni oggetto a se stesso. Di conseguenza, D "possiede" O, O "mangia" F e D "compra" F. Infine il cane è per definizione sempre affamato e mangia tutto il cibo che gli viene dato, quindi dovrebbe sostenere che
"possiede" o "mangia" = "compra".
La domanda in questo caso: sarebbe un preordine? Soddisfa tutti i criteri per una categoria: vengono forniti i morfismi dell'identità e la composizionalità. Di seguito [2] soddisfa anche i criteri per un preordine secondo cui "un proset è una categoria sottile (rigorosa): una categoria rigorosa tale che per ogni coppia di oggetti x, y, c'è al massimo un morfismo da x a y. "
Tuttavia non ho visto nulla di simile in nessuno dei soliti esempi: ⊆ e ≤ sono i soliti esempi di preordini e sono gli unici morfismi applicati agli oggetti nella categoria.
I migliori saluti Pavel
PS: non sono riuscito a trovare un esempio più "formale" che possa essere un indicatore del fatto che sono sulla strada sbagliata.
FONTI:
[1] Spivak, David I, Robert E. Kent, "Ologs: A Categorical Framework for Knowledge Representation" https://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0024274
[2] https://ncatlab.org/nlab/show/preorder
Risposte
Sì, questo è un preordine. Una delle intuizioni chiave della teoria delle categorie è che spesso le proprietà astratte degli oggetti (e i morfismi tra di loro) sono più importanti delle loro descrizioni concrete. Come hai sottolineato, la categoria che hai descritto non "sembra un preordine", perché ai morfismi non vengono dati nomi come$\subseteq$ o $\leq$. Ma la teoria delle categorie non si preoccupa dei nomi. La tua categoria soddisfa la definizione di un preordine, quindi, ad esempio, se avessi qualche teorema di fantasia sui preordini, sarebbe perfettamente valido applicarlo a questa categoria.
La risposta breve è sì. I nomi / significati dei morfismi non fanno parte dei dati: l'importante è come si compongono i morfismi. Ricorda che definire una categoria significa specificare l'insieme di oggetti e l'insieme di morfismi (insieme alle identità e alla composizione). (Potrebbe essere quello$\{ \text{owns}, \text{eats}, \text{buys} \}$ non è, in senso stretto, un insieme ben formato, perché a priori gli elementi non sono stati definiti, anche se in generale è innocuo considerarlo un insieme, perché sarà opportuno prendere qualsiasi insieme di cardinalità 3.) Dovresti quindi sentiti libero di etichettare i morfismi come preferisci: se dimentichi i nomi, e consideri il grafico sottostante insieme alla struttura della composizione, vedrai che hai esattamente un preordine.