È possibile risolvere questa equazione utilizzando la funzione W di Lambert?

Aug 16 2020

Mi sono imbattuto in un'equazione che deve essere risolta mentre stavo lavorando a un progetto scolastico. Ho provato a usare Lambert$W$funzione per risolvere la seguente equazione ma non ho avuto successo. È anche possibile risolvere per$x$ senza metodi numerici?

$$ ax+(bx-c)e^{kx}=d $$

Risposte

RobertIsrael Aug 16 2020 at 23:18

Non sembra possibile risolvere questo problema in generale usando Lambert W. Sarebbe possibile se $a$ o $b$ era $0$.

Potresti provare una soluzione in serie se uno dei parametri può essere considerato piccolo. Così una serie in potenze di$k$ è

$$ x = {\frac {c+d}{a+b}}+{\frac { \left( c+d \right) \left( ac-db \right) }{ \left( a+b \right) ^{3}}}k+{\frac { \left( c+d \right) \left( 3\,a c+ad-bc-3\,db \right) \left( ac-db \right) }{2\, \left( a+b \right) ^ {5}}}{k}^{2}+\ldots $$

ClaudeLeibovici Aug 17 2020 at 12:24

Da un punto di vista formale, puoi farlo.

Riscrivi l'equazione come $$e^{-kx}=-\frac ba \,\,\frac{x-\frac{b}{c}} {x-\frac{d}{a} }$$che ha una soluzione in termini di funzione di Lambert generalizzata .

Dai un'occhiata all'equazione $(4)$ nel documento collegato.

Questo è bello ma non molto utile da un punto di vista pratico.

Dal momento che avrai bisogno di un metodo numerico, hai bisogno di una stima per trovare gli zero della funzione

$$f(x)=ax+(bx-c)e^{kx}-d$$. Il primo essere derivato$$f'(x)=a+e^{k x} (b k x+b-c k)$$ si annulla alle $$x_*=\frac{W\left(t\right)}{k}+\frac{c}{b}-\frac{1}{k}\qquad \text{where} \qquad t=-\frac{a }{b}e^{1-\frac{c k}{b}}$$ Se $x_*$esiste, eseguire un'espansione di Taylor intorno a questo punto per ottenere una stima $$x_0=x_* \pm \sqrt{-2 \frac {f(x_*)}{f''(x_*)}}$$

Proviamo con $a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=4$, $k=5$.

Questo darà $$x_*=\frac{1}{10} \left(2 W\left(-\frac{1}{2 e^{13/2}}\right)+13\right)\approx 1.29985$$

Poi $x_0=1.58434$ mentre la soluzione esatta è $x=1.50069$.

Dal momento che abbiamo $x_0$, diamo un'occhiata alle iterazioni del metodo di Newton; essi saranno$$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 1.58434 \\ 1 & 1.52533 \\ 2 & 1.50339 \\ 3 & 1.50072 \\ 4 & 1.50069 \end{array} \right)$$