endomorfismo lineare tra$V$e duale di$V$

Question

Permettere$V$essere uno spazio vettoriale di dimensione finita sul campo$K$.$V^*=\{l:V\to K\}$.

Dimostrare$\operatorname{End}(V)$lineare isomorfo a$\operatorname{End}(V^*)$.

Il mio tentativo: Since per lo spazio vettoriale di dimensione finita$\dim V^*=\dim V$

quindi sono linearmente isomorfi per$\psi:V\to V^*$.

Elemento così dato$T\in \operatorname{End}(V)$possiamo trovare$\hat{T} = \psi T\psi^{-1}$è facile verificare che si tratti di un endomorfismo lineare.

E la mappa è attiva da allora per chiunque$\hat{T}$possiamo costruire$T=\psi^{-1}\hat{T}\psi \in \operatorname{End}(V)$. È iniettivo da allora$\hat{T} = 0$implica$T = 0$è la mappa zero, quindi ha un kernel banale.

Infine dobbiamo mostrare$\phi:\operatorname{End}(V) \to \operatorname{End}(V^*)$è anche lineare. cioè$\phi(T+S) = \phi(T)+\phi(S)$per definizione di$\hat{T}$Tiene.

La mia dimostrazione è corretta?

Answer 1

La tua dimostrazione è corretta. Tuttavia, c'è un altro isomorfismo dello spazio vettoriale tra$\operatorname{End}(V)$e$\operatorname{End}(V^*)$che non richiede un isomorfismo$V \rightarrow V^*$. Vale a dire, mappa$A \in \operatorname{End}(V)$a$A^* \in \operatorname{End}(V^*)$definendo$(A^*\phi)(x) = \phi(Ax)$. Qui,$ x\in V$e$\phi \in V^*$.

Answer 2

Vuoi mappare$T\colon V\to V$ad una mappa lineare$V^*\to V^*$e c'è un modo ovvio per farlo, vale a dire mappare$T$alla sua trasposizione$T^*$. Tuttavia, questo definisce un antiisomorfismo , perché$(T_1T_2)^*=T_2^*T_1^*$.

Ottieni un isomorfismo usando quello, quando$\dim V=n$, ottieni$V\cong M_n(K)$(l'anello di$n\times n$matrici) attraverso la scelta di una base. La transitività dell'isomorfismo termina.