Esempi di UFD2 ma non UFD1
Ho superato un teorema che dice:
Sia R un dominio integrale. Se ogni elemento irriducibile è Prime, allora soddisfa UFD 2. Converse (cioè, UFD 2 implica che ogni elemento irriducibile è Prime) è vero se è UFD 1.
dove,
UFD 1 è fondamentalmente l'esistenza di una fattorizzazione di ogni elemento.
UFD 2 è l'unicità della fattorizzazione per ogni fattorizzazione di ogni elemento.
Sappiamo che essere UFD soddisfa sia UFD 1 che UFD 2.
Ora stavo avendo problemi a trovare esempi per la situazione in cui UFD 2 soddisfa ma NON UFD 1.
Qualcuno mi può aiutare con questo? Grazie in anticipo. (Si prega di scrivere un po 'i dettagli se possibile)
La mia idea di base era quella di capire esempi per il caso in cui UFD 2 non implica che ogni elemento irriducibile sia Primo evitando UFD 1 (se esiste la fattorizzazione, deve essere unica ma non è obbligatorio che ogni elemento abbia la fattorizzazione).
Risposte
Nota che un anello deve essere non noetheriano per fallire UFD 2, poiché se $x$ non riesce ad avere una fattorizzazione in irriducibili, allora deve essere così $x$fattore in qualche modo come$x=ab$ dove $a$ e $b$ non sono unità e neanche $a$ o $b$ manca una fattorizzazione in irriducibili - e possiamo quindi guardare a una fattorizzazione di quella e così via per produrre una catena infinita $x_1,x_2,x_3,\ldots$ dove ogni termine divide rigorosamente l'ultimo - e poi $(x_1)\subsetneq (x_2) \subsetneq (x_3) \subsetneq\ldots$ sarebbe una catena ascendente infinita di ideali.
Quindi, possiamo semplicemente iniziare guardando il nostro anello non noetheriano preferito e vedere cosa succede - l'esempio che mi viene in mente sarebbe lasciare $R$ essere l'insieme delle espressioni polinomiali con coefficienti razionali in termini di forma $x^{n/2^k}$ per $n,k\in\mathbb N$ - o, equivalentemente, il limite diretto degli anelli $$\mathbb Q[x]\rightarrow\mathbb Q[x^{1/2}] \rightarrow \mathbb Q[x^{1/4}]\rightarrow\ldots .$$ L'elemento $x$manca una fattorizzazione in irriducibili in questo anello. Ciò deriva dal notare che i fattori di$x^{\alpha}$ sono solo i termini del modulo $x^{\beta}$ dove $\beta \leq \alpha$ - ma nessuno di questi è irriducibile.
Tuttavia, è vero che ogni elemento irriducibile $p$è il primo. In particolare, supponiamo di averne avuti alcuni$a,b\in R$ tale che $p|ab$. Quindi, deve essere tutto questo$p$ e $a$ e $b$ sono in qualche anello $\mathbb Q[x^{1/2^k}]$ e quello $p$ è irriducibile in questo anello, ma questo anello è isomorfo a $\mathbb Q[x]$ che è un significato PID $p$ è primo in esso, quindi $p$ deve dividere neanche $a$ o $b$ in questo anello e quindi anche in $R$. Quindi, questo anello ha l'unicità delle prime fattorizzazioni, ma non l'esistenza.
Un'idea potrebbe essere quella di trovare un anello in cui nessun elemento ha una fattorizzazione. Un esempio è l'anello dei numeri algebrici$\overline{\mathbb Z}$, che non ha affatto elementi irriducibili: se $a$ è non unità algebrica, allora lo è $\sqrt a$; da$a = \sqrt a\cdot\sqrt a$, $a$ non è irriducibile.
Per un esempio meno vacuo, considera l'anello $\overline{\mathbb Z}[X]$di polinomi con coefficienti algebrici. In questo anello, elementi della forma$aX + b$ sono irriducibili, dove $a, b\in \overline{\mathbb Z}[X]$sono coprimi. Se un elemento$f\in \overline{\mathbb Z}[X]$ha una fattorizzazione, quindi deve essere primitiva: i suoi coefficienti non devono avere un fattore comune. Un tale elemento può essere fattorizzato in modo univoco come prodotto di fattori lineari primitivi.