Esercizio di Herstein: un sottogruppo di un gruppo finito G tale che $|G| \nmid i_G(H)!$ deve contenere un sottogruppo normale non banale.

Aug 17 2020

Questo è un problema "Harder" 40 tratto da Abstract Algebra (1996) di Herstein. Non sono in grado di capire come farlo. anche se ho trovato un post molto simile . Di seguito è riportata una dichiarazione letterale della domanda.

Se $G$ è un gruppo finito, $H$ un sottogruppo di $G$ tale che $n \nmid i_G(H)!$, dove $n=|G|$, prova che esiste un sottogruppo normale $N \neq (e)$ di $G$ contenuto in $H$.

PS Sono stato bloccato su questo per circa una settimana, e ora sto gettando la spugna, quindi apprezzerei davvero una soluzione, ma ti imploro umilmente di darmi invece dei suggerimenti in modo da poter eliminare questo problema ( più o meno) da solo, sebbene francamente, ho perso la speranza.

Risposte

3 DavidA.Craven Aug 17 2020 at 21:34

Supporre che $H$ ha indice $n$ in $G$. L'azione sui (a destra, diciamo) cosets di$H$ induce un omomorfismo $\phi:G\to S_n$e il nucleo di questa mappa, il nucleo di$H$ in $G$, è il più grande sottogruppo normale di $G$ contenuto in $H$. Quindi il nucleo non è banale se e solo se il sottogruppo$N$ hai bisogno che esista, quindi lascia $N$denotano questo nucleo. Da$G/N$ è isomorfo a un sottogruppo di $S_n$, $|G/N|\mid n!$. Ma$|G|\nmid n!$, e quindi $|N|>1$.