Esiste un nome per numeri complessi estesi in modo affine?

Question

Considera la via $\widehat{\mathbb R}$ inerente a $\overline{\mathbb R}$. Questo set si riferirebbe a$\widehat{\mathbb C}$ in modo simile, con $\aleph_1$ infiniti, ciascuno ad angoli diversi, formando una sorta di cerchio con un raggio infinito che incapsula il piano complesso.

Un tale insieme potrebbe essere definito come: $$ \overline{\mathbb C}=\mathbb C \cup \left\{ x : (\exists \theta \in [0,2\pi)) \left[x=\lim_{r\to\infty} re^{i\theta} \right] \right\} $$

Non sono sicuro che quanto sopra sia una definizione rigorosa, ma sento che il punto è chiaro. C'è un modo in cui questa struttura potrebbe essere definita rigorosamente e ha un nome convenzionale?

Nota che non sto parlando $\widehat{\mathbb C}$, che contiene un unico punto per l'infinito simile alla linea reale estesa proiettivamente.

Answer 1

Penso che la cosa di cui parli sia molto simile $\Bbb RP^2$, il vero 2-spazio proiettivo. C'è un punto all'infinito per ogni possibile "direzione" nel piano.

La distinzione è che in $\Bbb RP^2$, il punto all'infinito per le linee ad angolo $\theta$ è uguale a quello per le linee ad angolo $\theta + \pi$. Quindi, probabilmente, la cosa che stai veramente ottenendo si chiama "il disco dell'unità chiusa", con i punti su$\partial D$corrispondente ai tuoi punti all'infinito. Ma è il disco con una certa geometria sottostante, ecc., Non è quello dell'incorporamento standard.

Questo è stato effettivamente studiato con molta attenzione, in una tesi di dottorato di Jorge Stolfi a Stanford. Si chiama Oriented Projective Geometry , e penso che sia stato pubblicato da IEEE, ma è passato molto tempo, quindi non sono sicuro di quest'ultima parte. Comunque, c'è un solido riferimento per te. Ecco un collegamento ad esso su Amazon:https://www.amazon.com/Oriented-Projective-Geometry-Framework-Computations/dp/148324704X