Fa una funzione$f$con la seguente proprietà esistono?

Aug 19 2020

Ho visto questa domanda ieri, che chiede fisso$n$, esiste una funzione continua$f: [0, 1] \to \mathbb{R}$tale che$$f\left(\frac k n\right) = {n \choose k}^{-1}$$La risposta è sì, e ci sono molti modi per costruire una risposta (si può usare un polinomio interpolante o semplicemente un insieme di linee rette, per esempio). Mi chiedevo se si potesse dire qualcos'altro se$n$non è fisso, vale a dire quanto segue:

Esiste una funzione continua$f: (0, 1) \to \mathbb{R}$tale che per ogni razionale$k / n$nei minimi termini,$$f\left(\frac k n\right) = {n \choose k}^{-1}$$

In tal caso, è possibile costruirne uno facilmente? E quanto può essere liscio$f$essere pur soddisfacendo la proprietà di cui sopra? (Sospetto che la risposta sia che esista una continuazione analitica.)

Risposte

2 Mindlack Aug 19 2020 at 21:57

La risposta è no. Ritenere$\alpha \in (0,1)$qualsiasi numero irrazionale, e$\frac{p_n}{q_n}$qualsiasi sequenza di frazioni irriducibili che vi convergono.

Quindi$f(p_n/q_n) \rightarrow f(\alpha)$.

Ma è facile vederlo$q_n \rightarrow \infty$e quindi$\binom{q_n}{p_n}^{-1} \leq q_n^{-1}$va a zero.

Così$f$è zero su tutti gli irrazionali quindi è identicamente zero, una contraddizione.

3 HagenvonEitzen Aug 19 2020 at 21:56

Notare che${2n-1\choose n}\approx{2n\choose n}\approx \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$affinché$$\lim_{n\to\infty}f(\tfrac n{2n-1})=0\ne f(\tfrac12) $$