Fai una dimostrazione sulle somme di Riemann da Spivak Calculus.

Aug 17 2020

Stavo elaborando una dimostrazione in Spivak's Calculus (2008) - pg 279 . Quello che segue è uno screenshot della parte della prova con cui ho problemi.

La mia domanda è risolvere correttamente i passaggi 1, 2 e 3. Voglio arrivare a

$$\bigg|\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx \bigg| < \epsilon \\ \Rightarrow\ -\epsilon < \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx < \epsilon$$

Giocherellando con l'equazione 2, avrei ottenuto qualcosa della forma

$$ 0 \leq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \leq U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$$

Lo stesso accadrebbe per $\int_{a}^{b}f(x) dx$. Ora usando questa idea ottengo qualcosa del modulo:

$$\epsilon > U(f,P) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq ?? $$

Ecco il mio problema, non posso dirlo con certezza $\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq 0$. Niente di ciò che ho può implicarlo e di conseguenza non posso concluderlo$\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) > -\epsilon$. Il che mi permetterebbe di finire questa parte della dimostrazione. Per esperienza so che mi manca una piccola cosa algebrica, ma suppongo di essere mentalmente affaticato e di non vederlo. Un po 'di assistenza sarebbe carino.

Risposte

3 Koro Aug 17 2020 at 05:44

Suggerimento : moltiplica l'equazione$(3)$ di $-1$ e aggiungi all'equazione $(2)$ ottenere:
$-(U(f,p) -L(f,P))\leq -\int_{a}^{b}f(x)dx+\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) \leq U(f,P) - L(f,P) $
In altre parole, abbiamo $-\epsilon\lt y\lt \epsilon$, da dove $|y|\lt \epsilon$

2 Matematleta Aug 17 2020 at 06:06

$(2)$ e $(3)$ implica che sia la somma che l'integrale siano tra $L(f,P)$ e $U(f,P)$ quindi la differenza assoluta tra loro non può essere maggiore di $U(f,P)-L(f,P)$ e da $(1)$ quest'ultima espressione è minore di $\epsilon.$