Funtore di sostituzione dei fibranti

Question

Nello snippet qui sotto (tratto dal libro MC di Hovey) perché lo è$$X\mapsto QX$$ma poi la direzione è invertita :$$QX\to X$$?

Inoltre, vorrei capire in quel paragrafo come$\alpha$e$\beta$sono usati per ottenere questi funtori di sostituzione: sono entrambi usati per il funtore di sostituzione del cofibrante, diciamo?

Answer 1

L'assioma della fattorizzazione funtoriale afferma che ogni mappa fattorizza con una cofibrazione seguita da una fibrazione aciclica (banale) (e puoi anche spostare la parte "banale" sul fattore di cofibrazione). Data la mappa$\varnothing \to X$, che esiste sempre come$\varnothing$è iniziale, applichiamo questo assioma per ottenere una fattorizzazione$$ \varnothing \to QX \to X $$dove la prima è una cofibrazione e la seconda una banale fibrazione. Questa è la tua mappa$QX \to X$. Il processo per farlo, tuttavia, è un funtore che agisce come$X \mapsto QX$. Che questo sia un funtore è il "funtorio" nella fattorizzazione funtoriale. Questo non significa che ci sia una mappa$X \to QX$. In altre parole, la sostituzione del cofibrante fornisce un funtore$Q$insieme a$Q(X)=QX$. Ha semplicemente scritto questo come$X \mapsto QX$(e non$X \to QX$, che significherebbe qualcosa di diverso e scorretto).