Gli autovettori della matrice simmetrica reale sono tutti ortogonali?

Question

Come ho imparato in algebra lineare, una vera matrice simmetrica $A$ ha sempre autovettori ortogonali quindi $A$ è ortogonalmente diagonalizzabile. Ma gli autovettori della matrice simmetrica reale sono tutti ortogonali?

Infatti, $A$ è diagonalizzabile, quindi possiamo trovare invertibile $P$ e $A=PSP^{-1}=P diag\{\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}\}P^{-1}.$Ma non posso provarlo $P$ è ortogonale, posso solo trovarlo $A^{T}=A=PSP^{-1}=(P^{T})^{-1}SP^{T}.$ Così $P^{T}PS=SP^{T}P.$Questo non può dimostrarlo $P^{T}P=I_{n}.$

Quindi questo $P$ortogonale? In caso negativo, qual è la sua relazione con gli autovettori ortogonali?

A proposito, questo problema mi è venuto quando stavo leggendo una nota di lezione.http://control.ucsd.edu/mauricio/courses/mae280a/lecture11.pdf

Penso che il suo modo di dimostrare che ogni matrice simmetrica ha autovettori ortogonali sia sbagliato.

Qualsiasi aiuto sarà ringraziato.

Answer 1

Il teorema in quel collegamento dicendo $A$"ha autovettori ortogonali" deve essere affermato in modo molto più preciso. (Non esiste un vettore ortogonale, quindi dire che gli autovettori sono ortogonali non ha senso. Un insieme di vettori è ortogonale o no, e l'insieme di tutti gli autovettori non è ortogonale.)

Ovviamente è falso dire che due autovettori qualsiasi sono ortogonali, perché if $x$ è un autovettore, quindi lo è $2x$. Ciò che è vero è che gli autovettori corrispondenti a diversi autovalori sono ortogonali. E questo è banale: supponi$Ax=ax$, $Ay=by$, $a\ne b$. Poi$$a(x\cdot y)=(Ax)\cdot y=x\cdot(Ay)=b(x\cdot y),$$così $x\cdot y=0$.

Il pdf è sbagliato? Ci sono seri problemi con l' affermazione del teorema. Ma supponendo che ciò che intende effettivamente sia ciò che ho detto sopra, la dimostrazione è probabilmente giusta, poiché è così semplice.

Answer 2

In effetti, non puoi dimostrare che una matrice che diagonalizza $A$ è ortogonale, perché è falso.

Ad esempio, prendi $A=I$(la matrice dell'identità). Qualsiasi matrice invertibile$P$ diagonalizza $I$, ma certo $P$ non è necessario che sia ortogonale.

Se $A$ ha $n$ autovalori distinti (dove $A$ è $n\times n$), allora l'affermazione è vera, perché gli autovettori corrispondenti a diversi autovalori sono ortogonali (vedi risposta di David C. Ullrich ).

Altrimenti devi prendere una base di autovettori; quindi, per ogni autovalore$\lambda$, prendi gli autovettori nella base corrispondente a $\lambda$e ortogonalizzarlo. Quindi ottieni una base ortogonale di autovettori.

E sì, la dimostrazione nelle dispense è sbagliata: usare $A=I$, l'argomento proverebbe che ogni matrice invertibile è ortogonale, il che è ovviamente falso.