Gli elementi di due sottogruppi abeliani normali fanno il pendolare?

Question

Così $H$ e $K$sono normali sottogruppi abeliani di qualche gruppo. È vero per tutti$h \in H$ e per tutti $k \in K$ quello $hk=kh$? Non credo che l'affermazione sia valida ma non riesco a trovare un controesempio (piuttosto semplice).

Answer 1

Permettere $G=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ essere il gruppo quaternione dell'ordine $8$. Ritenere$H=\{\pm1,\pm i\}$ e $K=\{\pm1,\pm j\}$.

Answer 2

Il controesempio più semplice è il gruppo diedro $D_8$, diciamo generato da $a$ dell'ordine $4$ e $b$ dell'ordine $2$. Ogni elemento di$D_8$ si trova in un normale sottogruppo di ordine $4$: $\{1,a,a^2,a^3\}$, $\{1,a^2,b,a^2b\}$ e $\{1,a^2,ab,a^3b\}$. Questi sono ovviamente tutti abeliani, poiché hanno ordine$4$. Se la tua dichiarazione ha tenuto, allora$D_8$ sarebbe quindi abeliano, il che ovviamente non lo è.

L'esempio di $Q_8$dalle altre due risposte è perfettamente valida, ovviamente. In effetti, se$G$ è un gruppo di ordine non abeliano $p^3$ quindi ogni elemento si trova in un sottogruppo di ordine $p^2$ (che è necessariamente abeliano e normale), e così ogni gruppo di ordine non abeliano $p^3$ è un controesempio.

Answer 3

Qualsiasi gruppo hamiltoniano ti darà un controesempio per definizione, poiché qualsiasi sottogruppo ciclico è abeliano e normale, tuttavia puoi trovare due sottogruppi ciclici con generatori che non commutano.

L'esempio più piccolo è il gruppo dei quaternioni $Q_8$.