I funzionali della distanza separano le misure di probabilità?
Permettere $(\Omega,d)$ essere uno spazio metrico compatto e $\mathcal P(\Omega)$il suo spazio di misure di probabilità Borel. Permettere$D=\{ d_p\mid p\in\Omega\}$ dove $d_p(x)=d(p,x)$essere l'insieme di tutti i "funzionali della distanza". Come al solito, possiamo pensare$D$ agendo su $\mathcal P(\Omega)$ (o viceversa) tramite integrazione es $\langle d_p,\mu\rangle = \int_\Omega d_p(x)\,\mathrm d\mu(x)$.
Domanda del titolo
Lo fa $D$ agendo su $\mathcal P(\Omega)$ tramite punti di integrazione separati?
O equivalentemente,
Se $\mu,\nu \in \mathcal P(\Omega)$ e $\langle d_p,\mu\rangle = \langle d_p,\nu\rangle$ per tutti $p\in \Omega$, quindi deve $\mu=\nu$?
Formulazioni alternative
Ci sono anche altri modi per inquadrare la domanda.
Formulazione probabilistica
Riscrivendo tutti gli integrali come aspettative la domanda diventa,
Se $\mathbb E_{X\sim\mu}[d_p(X)] = \mathbb E_{Y\sim\nu}[d_p(Y)]$ per tutti $p\in \Omega$, quindi deve $\mu=\nu$?
In altre parole, conoscere la distanza prevista da un punto per tutti i punti determina la misura?
Formulazione geometrica
Ricorda che la distanza 1-Wasserstein è data da $W_1(\mu,\nu) = \inf_{\gamma\in\Gamma(\mu,\nu)} \int_{\Omega\times\Omega} d(x,y) \,\mathrm d\gamma(x,y)$ dove $\Gamma(\mu,\nu)$ è l'insieme degli accoppiamenti tra $\mu$ e $\nu$ vale a dire Borel misure di probabilità su $\Omega\times\Omega$ con marginali $\mu$ e $\nu$rispettivamente. Poiché la misura del prodotto$\delta_p\otimes\mu$ è l'unico accoppiamento tra una misura delta di Dirac $\delta_p$ e $\mu$, ce l'abbiamo
$$W_1(\delta_p,\mu)=\int_{\Omega\times\Omega} d(x,y)\,\mathrm d(\delta_p\otimes\mu)(x,y)=\int_\Omega d(p,y)\,\mathrm d\mu(y)=\langle d_p,\mu\rangle$$
Ora la domanda può essere formulata geometricamente come
Se $W_1(\delta_p,\mu)=W_1(\delta_p,\nu)$ per tutti $p\in \Omega$, quindi deve $\mu=\nu$?
In altre parole, conoscere il file $W_1$ distanza ai punti estremi di $\mathcal P(\Omega)$ determinare completamente la misura di probabilità?
Forum sulla trasformazione integrale
Definire la trasformazione della distanza di$\mu\in\mathcal P(\Omega)$ come funzione $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$ dato da $\phi_\mu(p) = \int_\Omega d(p,x)\,\mathrm d\mu(x)$. La domanda può ora essere riformulata come,
È la trasformazione della distanza iniettiva $\mathcal P(\Omega)$?
Inoltre, dalla formulazione geometrica che abbiamo $\phi_\mu(p) = W_1(\delta_p,\mu)$. Useremo i deboli$*$ topologia per $\mathcal P(\Omega)$ (che coincide con il $W_1$topologia). Dal momento che la mappa$p\mapsto \delta_p$ è un incorporamento di $\Omega$ in $\mathcal P(\Omega)$, ne consegue che $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$è continuo. Indica la trasformazione della distanza di$\Phi(\mu)=\phi_\mu$. Da$\mathcal P(\Omega)$ è compatto Hausdorff e $C(\Omega)$ è Hausdorff come possiamo ribadire la domanda
Se $\Phi:\mathcal P(\Omega)\to C(\Omega)$ è continuo, è un incorporamento?
Pensieri finali
Qualcuna di queste affermazioni equivalenti è vera? Purtroppo sono stato solo in grado di riformulare la domanda e non ho individuato alcuna prova chiara, anche se non sarei sorpreso se ce n'è una facile che sto trascurando. La formulazione geometrica del problema mi porta a crederlo$D$ effettivamente separa i punti in $\mathcal P(\Omega)$. Tuttavia, se la risposta è affermativa, sento le proprietà piacevoli risultanti di$\Phi$lo renderebbe qualcosa che sarebbe facile cercare. Qualsiasi intuizione sarebbe apprezzata.
Aggiornamento: alla luce dell'elegante controesempio in 4 punti di George Lowther e della risposta affermativa di Pietro Majer per$\Omega=[0,1]$, sarebbe interessante capire meglio quali fattori determinano se lo spazio metrico sottostante produce una risposta affermativa.
Il controesempio di George può essere esteso ai controesempi dove $\Omega$è una sfera (con metrica intrinseca). Quindi, richiedendo$\Omega$essere di dimensione positiva, un collettore, connesso, connesso al percorso, connesso semplicemente, ecc., non risolverà il problema. D'altra parte, Pietro sospetta che la risposta sia nuovamente affermativa nel caso in cui$\Omega$ è un sottoinsieme convesso compatto dello spazio euclideo.
Risposte
No. Supponi che $\Omega$ consiste di quattro punti disposti in un quadrato, dove i punti adiacenti hanno distanza 1 tra loro e punti opposti hanno distanza 2. In particolare, se i punti sono etichettati A, B, C, D allora \begin{align} & d(A,C)=d(B,D)=2,\\ & d(A,B)=d(B,C)=d(C,D)=d(D,A)=1. \end{align} Ad esempio, A, B, C, D potrebbero essere equidistanti attorno a un cerchio, utilizzando la metrica del cerchio interno.
Esistono esattamente due misure di probabilità che assegnano probabilità 1/2 a ciascuno dei due punti opposti e probabilità zero ai due punti rimanenti. \begin{align} & \mu(\{A\})=\mu(\{C\}) = 1/2,\ \mu(\{B,D\})=0,\\ & \nu(\{B\})=\nu(\{D\})=1/2,\ \nu(\{A,C\})=0. \end{align}È possibile verificare che queste due misure diano lo stesso integrale per tutte le " funzioni di distanza". La distanza media da ogni punto è uguale a 1 sotto entrambi.
Sul lato positivo, la risposta è affermativa se $\Omega$ è l'intervallo unitario $[0,1]$con la sua distanza standard. In questo caso$\phi_\mu$ è un convesso $1$-Lipschitz funzione (infatti, è anche definita per tutti $p\in\mathbb{R}$, con $\phi'(p)=\mathrm{sgn} p$ per $p\notin[0,1]$), con le derivate sinistra e destra $$\phi_-'(p)=\mu[0,p)-\mu[p,1]= 2\mu[0,p)-1$$ $$\phi_+'(p)=\mu[0,p] -\mu (p,1]= 2\mu[0,p] -1=1-2\mu(p,1]$$ così che $\mu$ è determinato su tutti gli intervalli, quindi su tutti i sottoinsiemi Borel.
Al contrario, nota che qualsiasi funzione convessa $\phi$come sopra
può essere scritto nel modulo$\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ per qualche misura di probabilità Borel $m$ sopra $[0,1]$. Questo perché$g:= \frac{1}{2}\big(1-\phi_+'\big) $ è una funzione cadlag limitata non negativa, quindi esiste una funzione di probabilità Borel $m$ tale che $g(p)=m(p,1]$, da dove $\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ segue facilmente dalle relazioni di cui sopra.
Immagino che la risposta sia affermativa anche per $\Omega$ un insieme compatto convesso di $\mathbb{R}^n$ con la distanza euclidea.