I reali positivi soddisfano$ \sum_{i=1}^{24} x_i = 1 $, determinare il massimo della seguente quantità

Aug 18 2020

Quindi, i reali positivi soddisfano quanto segue

$$ \sum_{i=1}^{24} x_i = 1 $$

E ho bisogno di trovare il massimo della seguente quantità.

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right) \left(\sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i} } \right) $$

Ora, usando la disuguaglianza di Cauchy Schwarz, ho ottenuto

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right)^2 \leqslant \underbrace{(1+1+\cdots + 1)}_{\text{24 times}} \left( \sum_{i=1}^{24} x_i \right) $$

Questo porta a

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right) \leqslant \sqrt{24} $$

Sono bloccato con un'altra parte. Posso ottenere il minimo di quanto segue usando una tecnica simile.

$$ \left(\sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i} } \right) $$

Ma ho bisogno di avere il massimo di questa quantità, in modo da poter combinare i due. Qualsiasi suggerimento aiuterà.

Risposte

1 user9026 Aug 20 2020 at 10:16

Possiamo limitare la seconda somma come segue. Usando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, abbiamo quanto segue.

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)\underbrace{(1+1+\cdots +1)}_{\text{24 times}} $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant 24 \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \, \cdots \cdots \cdots(1) $$

Ora userò la disuguaglianza di Hölder.

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)^{1/2} \left( \sum_{i=1}^{24} (1+x_i) \right)^{1/2} \leqslant \left[ \sum_{i=1}^{24} \left(\frac{1}{\sqrt{1+x_i}}\right) \left(\sqrt{1+x_i}\right) \right] $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)^{1/2} \sqrt{25} \leqslant 24 $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \leqslant \frac{24^2}{25} $$

$$ 24 \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \leqslant \frac{24^3}{25} $$

Quindi, combinando con l'equazione$(1)$, Ottengo,

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant \frac{24^3}{25} $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \frac{24^{3/2}}{5} $$

Alla fine, unendo le due somme, ottengo

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i} \right) \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \sqrt{24} \,\frac{24^{3/2}}{5} $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i} \right) \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \frac{24^{2}}{5} $$

Spero possa aiutare