I sistemi incoerenti possono essere matematicamente interessanti / utili?
Secondo la risposta in alto a questa domanda:
Facendo matematica spesso abbiamo un'idea di un oggetto che desideriamo rappresentare formalmente, questa è una nozione . Quindi scriviamo assiomi per descrivere questa nozione e proviamo a vedere se questi assiomi sono contraddittori. Se non lo sono (o se non possiamo provare che lo siano) iniziamo a lavorare con loro e diventano una definizione . I matematici sono guidati dalla nozione ma lavorano con la definizione. Raramente la nozione e la definizione coincidono, e hai un oggetto matematico che è esattamente quello che la nostra intuizione [dei matematici] ci dice che dovrebbe essere.
Formalizzare le nostre intuizioni matematiche sembra essere un affare complicato, soprattutto perché le nostre intuizioni sono spesso contraddittorie, portando a ogni sorta di paradossi veridici sconcertanti. Inoltre, Gödel ha dimostrato che non può essere fatto in un modo che sia coerente e completo, così quando abbiamo facciamo trovare una formalizzazione non contraddittorio, dobbiamo sacrificare la completezza.
Ma cosa succede se invece rinunciamo alla coerenza? Sistemi incoerenti piuttosto che coerenti potrebbero permetterci di formalizzare le nostre intuizioni (spesso incoerenti) in modo più realistico, anche se anche meno utile.
Sfortunatamente, il principio di esplosione sembra implicare che un tale sistema sia sostanzialmente privo di significato poiché ogni affermazione sarebbe sia vera che falsa. Tuttavia, potrebbe esserci un modo per aggirare questo problema. Ad esempio, potremmo limitare le regole di inferenza logica in modo da impedire il principio di esplosione. Oppure potremmo limitare tutte le dimostrazioni al di sotto di una certa lunghezza (corrispondente al numero limitato di passaggi intuitivi che una persona può tenere contemporaneamente in testa).
È stato provato prima? Potrebbe essere illuminante / utile come modello dell'intuizione matematica umana?
NOTA: Da un punto di vista filosofico piuttosto che matematico, molte religioni / sistemi di pensiero sono felici di sacrificare la coerenza per accogliere le contraddizioni intrinseche dell'intuizione umana. Il buddismo zen è probabilmente l'esempio più noto e il taoismo fa qualcosa di simile anche se meno estremo. Stavo anche leggendo il libro "Ortodossia" di GK Chesterton in cui descrive il suo sistema di credenze (è un cristiano), e afferma che la piena adesione alla logica e alla ragione porta alla follia e alle conseguenze assurde, e non riesce a catturare la ricchezza della contraddizione in pensiero e realtà.
Risposte
Sì, tali sistemi sono stati effettivamente studiati: i termini chiave includono "logiche paraconsistenti" e "logiche di rilevanza". Re: sources, Chris Mortensen ha scritto un articolo riassuntivo e un libro sull'argomento, sebbene quest'ultimo abbia alcuni problemi (vedi qui ).
Un altro termine importante qui è "dialeteismo". Molto approssimativamente, paraconsistenti ecc logiche sono paradox- tolleranti nel senso che per una teoria in logica tale, una mera incoerenza non implica triviality. Il dialeteismo è la posizione filosofica che ci sono vere contraddizioni. Graham Priest ha scritto molto sull'argomento (vedi ad esempio qui ).
Detto questo, non sono realmente a conoscenza di tentativi plausibili di aggirare il primo teorema di incompletezza in questo modo: non conosco candidati naturali per una teoria in una logica paraconsistente che è computabilmente assiomatizzabile, contiene $\mathsf{Q}$come una sottoteoria (diciamo), è completo ed è plausibilmente non banale. Possiamo aggirare il secondo teorema di incompletezza in un senso debole, tuttavia: il libro di Mortensen discute una particolare rilevanza aritmetica che contiene il primo ordine classico$\mathsf{PA}$ ma la cui non banalità è $\mathsf{PA}$-provabile. (Dal momento che la non banalità non implica coerenza in questo contesto, ciò non viola effettivamente il secondo teorema di incompletezza.) Un'altra applicazione notevole è la capacità della logica paraconsistente di dare un senso alla teoria ingenua degli insiemi; vedi ad esempio qui .