Ideale su $\mathbb{N}$ con determinate proprietà

Aug 20 2020

Permettere $\mathcal{I}$ essere un ideale $\mathbb{N}$che contiene tutti gli insiemi finiti e almeno un insieme infinito. Definisci un filtro

$\mathcal{F}:=\{D\subseteq\mathbb{N}\mid \forall A\in\mathcal{I},A\cap D^{c}\text{ is finite, or equivalently} A\subseteq^{*}D\}$.

$\mathcal{F}$ contiene il filtro cofinite, e sembra che se $\mathcal{I}$ allora è primo $\mathcal{F}$non contiene nient'altro. Vale il contrario? In altre parole, diciamo che un ideale ha la proprietà P se il filtro corrispondente è il filtro cofinite. P è lo stesso di essere primo? O c'è una semplice caratterizzazione di P?

Qualcuno ha suggerito che questo è come chiedere $\mathcal{E}\subseteq(\mathcal{P}_{coinf}(\mathbb{N}),\subseteq^{*})$ che è illimitato sotto $\subseteq^{*}$e genera un vero ideale non primo. Ho scoperto di non sapere nulla di questo poset. Qual è il suo tipo cofinale? Qual è la sua relazione con altri beni come$(\mathbb{N}^{\mathbb{N}},<^{*})$?

Background: stavo pensando se definiamo una topologia su $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ richiedendo che certe sequenze convergono a $\infty$, ci saranno più (e quali) sequenze convergenti $\infty$di quanto ci aspettassimo. Vedi anche questa domanda.

Risposte

1 tkf Aug 20 2020 at 07:04

Dato $P_1,P_2$ ideali primi non principali $\mathbb{N}$ con $P_1\neq P_2$, permettere $\mathcal{I}= P_1\cap P_2$. Poi$\mathcal{I}$ è un ideale contenente tutti gli insiemi finiti, ma non primi (poiché devono essercene alcuni $A\subseteq \mathbb{N}$ con $A\notin P_1, A^c\notin P_2$).

però $\mathcal{I}$ soddisfa la proprietà P: Dato qualsiasi $D$ non cofinite, possiamo partizionare $D^c$ in $4$ pezzi infiniti: $D_{11,}D_{12},D_{21},D_{22}$. Poi$D_{i1}\cup D_{i2}\in P_1$ per alcuni $i$ e $D_{1j}\cup D_{2j}\in P_2$ per alcuni $j$. Così$D_{ij}\in \mathcal{I}$ e $D_{ij}\cap D^c=D_{ij}$ è infinito.

1 EricWofsey Aug 20 2020 at 06:33

Permettere $X$ essere una famiglia massimale quasi disgiunta di sottoinsiemi di $\mathbb{N}$, e lascia $\mathcal{I}$ essere l'ideale generato da $X$. Poi$\mathcal{F}$ sarà il filtro cofinite: if $D\in\mathcal{F}$ poi $D^c$ è quasi disgiunto da ogni elemento di $X$, e quindi deve essere finito per massimalità di $X$. Però,$\mathcal{I}$non è primo. Ad esempio, se prendi due sottofamiglie infinitamente numerabili disgiunte$Y,Z\subset X$, quindi con un semplice argomento di diagonalizzazione puoi costruire $A\subset\mathbb{N}$ che contiene quasi ogni elemento di $Y$ ed è quasi disgiunto da ogni elemento di $Z$. Poi$A\not\in\mathcal{I}$ poiché ogni elemento di $\mathcal{I}$ ha intersezioni infinite con solo un numero finito di elementi di $X$, e $A^c\not\in\mathcal{I}$ per la stessa ragione.