IMO 2003 / G1: Dimostralo $PQ=QR$ se e solo se le bisettrici di $\angle ABC$ e $\angle ADC$ sono concorrenti con $AC$.
Permettere $ABCD$essere un quadrilatero ciclico. Permettere$P$, $Q$, $R$ essere i piedi delle perpendicolari da $D$ alle linee $BC$, $CA$, $AB$, rispettivamente. Dimostralo$PQ=QR$ se e solo se le bisettrici di $\angle ABC$ e $\angle ADC$ sono concorrenti con $AC$.
Ecco il diagramma:

Voglio usare l'area geografica proiettiva.
I miei progressi : è risaputo che$P,Q,R$ sono collineari [linea simson]
Ora, ecco un lemma.
Lemma : Dato un quadruplo ciclico$ABCD$, le bisettrici angolari $\angle ABC$ e $\angle ADC$ sono concorrenti con $AC$ se e solo se $ABCD$ è armonico.
Prova : se$ABCD$ è armonico, quindi $(A,C;B,D)=-1 \implies \frac {BA}{BC}=\frac {DA}{DC} $ , applicando ora il teorema della bisettrice, abbiamo finito.
Possiamo tornare indietro per provare l'altra direzione.
Quindi, la domanda riformulata è:
Permettere $ABCD$essere un quadrilatero ciclico. Permettere$P$, $Q$, $R$ essere i piedi delle perpendicolari da $D$ alle linee $BC$, $CA$, $AB$, rispettivamente. Dimostralo$Q$ è il punto medio di $PR$ se e solo se $ABCD$ è armonico:
Ora, poiché mi viene chiesto di utilizzare Proiettiva geo, ho intenzione di mostrare $(P,R;Q,P_{\infty})=-1$. Ora posso farlo$P_{\infty}$quando considero una linea parallela alla linea simson ma non sono in grado di procedere su quale linea. Ho preso una linea parallela a$PR$ attraverso $D$, ma non è possibile procedere ..
Risposte
Estendere $DQ$ per incontrare il cerchio a $X$Quindi, BX sarebbe parallelo alla linea Simson come menzionato nel commento.
Se parte: ora, lascia $BX$ incontrare $AC$ a $Y$Assumi la prospettiva $B$ in linea $AC$ per dimostrarlo $(Y,Q,A,C)$ armonico. Ora, prendi la prospettiva a $X$ sul cerchio per dimostrarlo $ABCD$è armonico. L'altra direzione può essere dimostrata in modo simile.