IMO 2003 / G1: Dimostralo $PQ=QR$ se e solo se le bisettrici di $\angle ABC$ e $\angle ADC$ sono concorrenti con $AC$.

Aug 18 2020

Permettere $ABCD$essere un quadrilatero ciclico. Permettere$P$, $Q$, $R$ essere i piedi delle perpendicolari da $D$ alle linee $BC$, $CA$, $AB$, rispettivamente. Dimostralo$PQ=QR$ se e solo se le bisettrici di $\angle ABC$ e $\angle ADC$ sono concorrenti con $AC$.

Ecco il diagramma:

Voglio usare l'area geografica proiettiva.

I miei progressi : è risaputo che$P,Q,R$ sono collineari [linea simson]

Ora, ecco un lemma.

Lemma : Dato un quadruplo ciclico$ABCD$, le bisettrici angolari $\angle ABC$ e $\angle ADC$ sono concorrenti con $AC$ se e solo se $ABCD$ è armonico.

Prova : se$ABCD$ è armonico, quindi $(A,C;B,D)=-1 \implies \frac {BA}{BC}=\frac {DA}{DC} $ , applicando ora il teorema della bisettrice, abbiamo finito.

Possiamo tornare indietro per provare l'altra direzione.


Quindi, la domanda riformulata è:

Permettere $ABCD$essere un quadrilatero ciclico. Permettere$P$, $Q$, $R$ essere i piedi delle perpendicolari da $D$ alle linee $BC$, $CA$, $AB$, rispettivamente. Dimostralo$Q$ è il punto medio di $PR$ se e solo se $ABCD$ è armonico:

Ora, poiché mi viene chiesto di utilizzare Proiettiva geo, ho intenzione di mostrare $(P,R;Q,P_{\infty})=-1$. Ora posso farlo$P_{\infty}$quando considero una linea parallela alla linea simson ma non sono in grado di procedere su quale linea. Ho preso una linea parallela a$PR$ attraverso $D$, ma non è possibile procedere ..

Risposte

3 Yesit'sme Aug 18 2020 at 21:29

Estendere $DQ$ per incontrare il cerchio a $X$Quindi, BX sarebbe parallelo alla linea Simson come menzionato nel commento.

Se parte: ora, lascia $BX$ incontrare $AC$ a $Y$Assumi la prospettiva $B$ in linea $AC$ per dimostrarlo $(Y,Q,A,C)$ armonico. Ora, prendi la prospettiva a $X$ sul cerchio per dimostrarlo $ABCD$è armonico. L'altra direzione può essere dimostrata in modo simile.