$\int \limits_{0}^{\infty}x^n e^{-ax} dx = \frac{n!}{a^{n+1}}$ [duplicare]

Question

Questo probabilmente si presenta molto con le distribuzioni di probabilità esponenziali:

Come dimostrarlo:

$$\int \limits_{0}^{\infty}x^n e^{-ax} dx = \frac{n!}{a^{n+1}}$$

---

Guardo in una tabella matematica degli integrali, ottengo:

$$\int x^n e^{ax}~dx = \frac{x^n~e^{ax}}{a} - \frac{n}{a} \int x^{n-1}~e^{ax}~dx$$

$$\int x^n e^{ax}~dx = \frac{e^{ax}}{a}\bigg[ x^n - \frac{n~x^{n-1}}{a} + \frac{n~(n-1)~x^{n-2}}{a^2} - \cdots \frac{(-1)^n~ n!}{a^n}\bigg]~~~(\text{n is positive})$$

non esattamente la bella formula facile che stavo cercando ...

Answer 1

\begin{align} & \int\limits_0^\infty x^n e^{-ax} \, dx \\[8pt] = {} & \int\limits_0^\infty (ax)^n e^{-ax} (a\,dx) \cdot \frac 1 {a^{n+1}} \\[8pt] = {} & \int\limits_0^\infty t^n e^{-t} \, dt \cdot \frac 1{a^{n+1}} \end{align} Quello si prende cura di $\text{“}a\text{.''}$

\begin{align} & \int\limits_0^\infty t^n (e^{-t}\, du) = \overbrace{\int\limits_0^\infty u\,dv = \Big[ uv\Big]_{x\,:=\,0}^\infty - \int\limits_0^\infty v\, du}^\text{integration by parts} \\[10pt] = {} & \Big[ -t^n e^{-t} \Big]_{x\,:=\,0}^\infty -\int\limits_0^\infty -nt^{n-1} e^{-t} \, dt \\[10pt] = {} & \lim_{t\to\infty} \frac{-t^n}{e^t} + n \int\limits_0^\infty t^{n-1} e^{-t} \, dt. \end{align} Il limite può essere dimostrato di essere $0$tramite la regola di L'Hopital. Ora abbiamo\begin{align} \int\limits_0^\infty t^n e^{-t} \, dt & = n \int\limits_0^\infty t^{n-1} e^{-t} \, dt \\[10pt] & = n(n-1) \int\limits_0^\infty t^{n-2} e^{-t} \, dt \\[10pt] & = n(n-1)(n-2) \int\limits_0^\infty t^{n-3} e^{-t} \, dt \quad \text{etc.} \end{align}