Integrale di una traccia e teorema della divergenza

Question

Ho trovato la seguente uguaglianza in un documento che sto leggendo e mi sono bloccato perché non sono in grado di verificarlo.

Abbiamo un campo vettoriale regolare privo di divergenza$V \colon \mathbb T^N \to \mathbb T^N$definito sul toro. Si afferma che$$ \int_{\mathbb T^N} \text{Tr}[(V \otimes V) \cdot \nabla V] \, dx = 0 $$dove$dx$è la misura standard di Lebesgue sul toro. La mia unica idea per verificarlo è ricorrere a un certo uso dell'integrazione per parti e al teorema della divergenza: la "traccia" che appare nell'integrale dovrebbe essere ridotta alla divergenza di una certa quantità (utilizzando il fatto che$\text{div } V = 0$) e quindi la conclusione seguirebbe proprio per il teorema della divergenza (visto che siamo sul toro).

Tuttavia, qualcosa si rompe: in 2D un calcolo esplicito mi dice che l'integrando è$$ v_1^2 \partial_1 v_1 + v_2^2 \partial_2v_2 + v_1v_2 (\partial_1 v_2 + \partial_2 v_1) $$(con ovvia notazione per le derivate e$V=(v_1,v_2)$) e non riesco a scriverlo come divergenza di qualcosa, nemmeno usando l'integrazione per parti o il fatto che$\partial_1 v_1 = - \partial_2 v_2$.

Sento che dovrebbe esserci qualche semplice trucco (generale?) Dietro, ma dopo una notte di calcoli mi arrendo. Grazie per l'aiuto.

Answer 1

Consideriamo i seguenti campi vettoriali:$$X = |V|^2 V = \sum_j V_j^2 V$$Su$\mathbb T^N$. Allora per il teorema della divergenza,$$\int_{\mathbb T^N} \operatorname{div} (X) = 0.$$Da

\begin{align} \operatorname{div} (X) & = \operatorname{div} (|V|^2 V) \\ &= \sum_i \nabla_i (|V|^2 V_i) \\ &= 2 \sum _{i,j} (\nabla_i V_j) V_j V_i + |V|^2 \sum_i \nabla_iV_i \\ &= 2 \sum_{i,j} V_i V_j \nabla_i V_j \\ &= 2\operatorname{tr} ( V\otimes V, \nabla V), \end{align}

si ottiene il risultato.

Answer 2

Quindi, integrando per parti e usando il fatto che$\nabla\cdot v=0$hai$$ \int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) = -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}(\nabla\cdot(v\otimes v) \otimes v) = - 0 -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\cdot\nabla v) \otimes v) = -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) $$Così$$ 2\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) = 0. $$