Interpretazione della teoria monadica dei reali nella teoria monadica dell'ordine lineare.
Di seguito è riportato un estratto da Gurevich, Shelah - Interpreting Second Order Logic in the Monadic Theory of Order . Sto cercando di capire come la teoria monadica della linea reale sia interpretabile nella teoria monadica dell'ordine (non includono ulteriori spiegazioni o prove, ma solo dicendo che può essere fatto facilmente).

Ecco alcune definizioni che potrebbero essere utili. Se$(\alpha,<)$ è un ordine lineare quindi secondo la teoria monadica di $\alpha$'si intende la teoria del primo ordine della struttura $(\mathcal{P}(\alpha),\subseteq,<)$ dove $<$ è l'ordinamento di $\alpha$dato su sottoinsiemi singleton. La "teoria monadica dell'ordine" è l'intersezione di tutte queste teorie del primo ordine come lo permettiamo$\alpha$ variare su tutti gli ordini lineari.
C'è forse qualche insieme ricorsivo di assiomi $T_{\mathbb{R}}$ tale che se prendiamo l'unione della teoria monadica dell'ordine con $T_{\mathbb{R}}$ otteniamo la teoria completa della struttura $(\mathcal{P}(\mathbb{R}),\subseteq,<)$? (Vale la pena notare, sia la teoria monadica dell'ordine che la teoria monadica di$\mathbb{R}$ sono indecidibili).
Non riesco a trovare questa interpretazione "facile" ma sento che potrei perdere qualcosa di ovvio.
Risposte
Non vedo come aggiustare la mia strategia originale - in particolare, anche se non ho un controesempio sospetto che "sia un ordine lineare completo di Dedekind senza endpoint o punti isolati, tutti i cui sottordini hanno cofinalità e coinizialità $\le \omega$"non è necessariamente definito$\mathbb{R}$ fino all'isomorfismo.
Tuttavia, possiamo ancora ottenere la riduzione prevista (anche se a prima vista questo non fornisce un'interpretazione di per sé - ci penso ancora). Dì che un ordine lineare$A$ è $\mathbb{R}$ish se è Dedekind-complete e non ha endpoint o punti isolati. L'osservazione chiave è la seguente:
(Lemma) Ogni$\mathbb{R}$L'ordine ish ha un sottordine isomorfo a $\mathbb{R}$e ogni $\mathbb{R}$ish sottordine di $\mathbb{R}$ è isomorfo a $\mathbb{R}$.
Il punto quindi è quello $\mathbb{R}$si trova in fondo a una classe di ordinamenti definibile MSO in un senso definibile MSO. Quindi possiamo eseguire la seguente traduzione:
(Definizione) Per una frase MSO$\varphi$, permettere $\hat{\varphi}$ essere la frase MSO "Every $\mathbb{R}$ish order ha un file $\mathbb{R}$è un sottordine soddisfacente $\varphi$. "
Per il lemma abbiamo quello $\hat{\varphi}$ fa parte della MSO-teoria dell'ordine iff $\mathbb{R}\models\varphi$:
Se $\mathbb{R}\not\models\varphi$ poi $\mathbb{R}\not\models\hat{\varphi}$, poiché tutto $\mathbb{R}$ish suborders of $\mathbb{R}$ sono isomorfe a $\mathbb{R}$ per il lemma e quindi anche non soddisfano $\varphi$.
Al contrario, se $\mathbb{R}\models\varphi$ poi ogni $\mathbb{R}$L'ordine lineare ish ha un'estensione $\mathbb{R}$è un sottordine soddisfacente $\varphi$ - vale a dire, qualsiasi sottordine isomorfo a $\mathbb{R}$ stesso, che è garantito per esistere per il lemma.
La mappa $\varphi\mapsto\hat{\varphi}$ è chiaramente calcolabile, quindi otteniamo una riduzione di $Th_{MSO}(\mathbb{R})$ alla teoria monadica dell'ordine come desiderato.