L'elenco dei numeri primi è una sequenza

Question

Permettere$f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$tale che$f(n)=p$(dove$p$è il$n$esimo numero primo). Il mio dubbio è se questa sia una funzione e quindi una sequenza. Ho questo dubbio perché non conosciamo tutti i numeri primi, giusto? Quindi, dopo un certo stadio, non sappiamo quale sia l'output della funzione.

Answer 1

Il fatto che noi umani non conosciamo tutti gli elementi di una sequenza non impedisce a una sequenza di essere una sequenza. Sì, la sequenza dei numeri primi è una sequenza ben definita come qualsiasi altra.

Answer 2

Allo stesso modo,$(a_n)_{n\in\mathbb N}$definito come$a_n = n,$che è una funzione identità sull'insieme dei numeri naturali$a:\mathbb N \to \mathbb N$definito con$a: n \mapsto n$, sarebbe una non successione, perché non conosciamo tutti i numeri naturali. Destra?

Il fatto di non conoscere a priori alcuni/molti/quasi dei termini non ne invalida la definizione. Finché ogni termine è ben definito, la sequenza è definita.
I numeri naturali sono ben ordinati, quindi anche il loro sottoinsieme di numeri primi è ben ordinato. Quindi "il prossimo numero primo" è ben definito ad ogni passo, e così anche l'intera sequenza. Non importa quanto possa essere difficile trovare il valore effettivo del "termine successivo".