La classe di tutti gli insiemi è ben ordinata? (In senso lato)
Ho visto la domanda Classi corrette ben ordinate. e voglio chiedere quanto segue.
La classe di tutti gli insiemi è ordinata linearmente? Voglio dire, supponiamo di usare la teoria degli insiemi ZFC. (O ZFC + assioma di Tarski. (1) A proposito, tale sistema contiene incongruenze note?). Ogni universo è ben ordinato dal teorema di Zermelo.
(2) Ma esiste una classe che è una biiezione tra Ord e Set?
Penso che quella classe di universi sia ordinata linearmente. Possiamo mantenere un ordine nell'universo inferiore e aggiungere un ordine della differenza teorica degli insiemi tra l'universo attuale e quello precedente. (Che è anche un insieme perché appartiene al prossimo universo.) (3) Le mie affermazioni sono valide?
(4) Come continuare o dimostrare il buon ordine di Set nell'altro modo?
Tutto quello che voglio è provare in qualche modo che esiste un elemento "minimo" di ogni classe propria.
Risposte
(1) Quasi tutti i teorici degli insiemi credono nella coerenza dell'assioma di ZFC e ZFC + Tarski (o equivalentemente, ZFC con una classe appropriata di cardinali inaccessibili). Naturalmente, non possiamo dimostrare la sua coerenza a causa del teorema di incompletezza di Gödel se sono coerenti.
(3) In effetti, la raccolta di tutti gli universi (Tarski-Grothendieck) è ben ordinata: hanno la forma $V_\kappa$ per alcuni inaccessibile $\kappa$e la classe di tutti gli inaccessibili è una sottoclasse della classe di tutti gli ordinali. Quindi sono ben ordinati. (Nota che se intendi un universo mero modello di ZFC, allora non sono ordinati linearmente.)
Tuttavia, non possiamo dimostrare la classe di tutti gli insiemi $V$è ben ordinato da questo fatto, anche se abbiamo l'assioma di Tarski. Devi scegliere un buon ordine in ogni fase, e ha bisogno di una classe adeguata molte scelte, il che non è giustificabile a meno che non abbiamo l'assioma della scelta globale.
(2) La classe di tutti gli insiemi definibili in ordine ordinale $\mathrm{OD}$ è un'immagine biiettiva della classe degli ordinali $\mathrm{Ord}$. In effetti, se$X$ è una classe che è un'immagine biettiva di $\mathrm{Ord}$sotto una funzione di classe biiettiva definibile , quindi$X\subseteq \mathrm{OD}$. Quindi se$V\neq \mathrm{OD}$, quindi non vi è alcuna biiezione definibile tra $\mathrm{Ord}$ e $V$.
Anche se abbandoniamo la definibilità, non c'è motivo di presumere che ci sia una biiezione tra $\mathrm{Ord}$ e $V$. Vedi la risposta pertinente su Mathoverflow.
(4) È noto che sono equivalenti:
- $V$ ha un buon ordine,
- C'è una biiezione da $\mathrm{Ord}$ per $V$, e
- L'assioma della scelta globale.
Ci sono alcuni assiomi che implicano l'assioma della scelta globale: per esempio, l' assioma della costruibilità dimostra che esiste un canonico ordine globale. Tuttavia, il semplice ZFC non prova l'assioma della Scelta Globale, anche se assumiamo l'assioma di Tarski. Quindi non c'è modo di dimostrare la scelta globale dalle tue teorie.