La condizione di energia positiva nella teoria quantistica dei campi per hamiltoniani associati a diversi vettori di uccisione simili al tempo

Question

L'effetto Unruh è un noto esempio in cui due Hamiltoniane $H$ e $\hat H$associati a differenti campi vettoriali di Killing simili al tempo hanno entrambi un limite inferiore, nella stessa rappresentazione dello spazio di Hilbert, anche se non sono correlati tra loro da alcuna isometria spaziotemporale. Questa domanda chiede una generalizzazione.

Considera una teoria quantistica dei campi nello spaziotempo piatto, espressa in termini di operatori di campo che agiscono su uno spazio di Hilbert. Permettere$K$ e $\hat K$essere due diversi campi vettoriali Killing simili al tempo, non necessariamente correlati tra loro da alcuna isometria, e non necessariamente coprenti l'intero spaziotempo. (Come esempio, pensa alle coordinate di Rindler.) Let$R$ essere la regione dello spaziotempo in cui sono definiti entrambi i campi del vettore di uccisione, e considerare l'algebra delle osservabili in $R$. Permettere$H$ e $\hat H$ essere gli operatori (hamiltoniani) che generano traduzioni di queste osservabili lungo $K$ e $\hat K$, rispettivamente.

Domanda: Supponiamo che l'algebra sia rappresentata su uno spazio di Hilbert in modo tale che lo spettro di una delle Hamiltoniane$H$ha un limite inferiore. Ciò implica che lo spettro dell'altro hamiltoniano$\hat H$ ha anche un limite inferiore (nella stessa rappresentazione dello spazio di Hilbert)?$^\dagger$

Non sto cercando una prova impermeabile, solo un argomento convincente - qualcosa di abbastanza chiaro da poter controllare ogni passaggio in una teoria del campo libero.

A proposito, nel caso in cui questo non sia familiare: la densità hamiltoniana non è necessariamente definita positiva nella teoria quantistica dei campi, nemmeno in una rappresentazione in cui la stessa hamiltoniana è definita positiva. Vedi Fewster (2005) "Energy Inequality in Quantum Field Theory",https://arxiv.org/abs/math-ph/0501073, che dice (pagina 2):

È noto da tempo che i campi quantistici violano tutte queste condizioni energetiche puntuali [4] e, in molti modelli, la densità di energia è in effetti illimitata dal basso nella classe degli stati fisicamente ragionevoli.

$^\dagger$ ^{La domanda si riferisce a come gli operatori sono rappresentati su uno spazio di Hilbert. È importante perché$H$tipicamente non ha un limite inferiore nella maggior parte delle rappresentazioni nello spazio di Hilbert anche se lo ha in una di esse. La condizione dello spettro è una proprietà di una specifica rappresentazione dello spazio di Hilbert, non solo una proprietà dell'algebra astratta delle osservabili.}

Answer 1

La risposta è no e, ironia della sorte, l'esempio che ho usato per motivare la domanda è in realtà un controesempio: lo spettro dell'hamiltoniano di Rindler non ha un limite inferiore.

L'Hamiltoniano di Rindler genera aumenti nello spaziotempo di Minkowski. Un'espressione in termini di tensore energia-stress è mostrata nell'equazione (25) in

• Jacobson, "Buchi neri e radiazioni di Hawking nello spaziotempo e suoi analoghi", https://arxiv.org/abs/1212.6821

Quell'espressione rende chiaro che l'hamiltoniano di Rindler non può avere un limite inferiore.

Col senno di poi, questo è ovvio per simmetria. L'inverso di un boost è lo stesso di un boost combinato con una riflessione spaziale. Una riflessione spaziale non cambia lo spettro, ma l'inverso ribalta il segno dello spettro. L'unico modo in cui possono essere uguali è se lo spettro è simmetrico rispetto allo zero. Pertanto, se lo spettro non ha un limite superiore, non può nemmeno avere un limite inferiore.

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Appunti:

1. L'articolo di Jacobson (citato sopra) considera solo un hamiltoniano parziale ottenuto integrando su un "cuneo di Rindler", ma quella superficie di integrazione non è una superficie di Cauchy. Per vedere l'hamiltoniano completo su una superficie di Cauchy, dobbiamo considerare i cunei di Rindler sinistro e destro insieme, e quindi è evidente che l'Hamiltoniano completo non può avere un limite inferiore.

2. Attenzione che parte della letteratura sull'effetto Unruh ridefinisce tacitamente il nome "stato del vuoto" per indicare qualcosa di diverso dallo "stato di energia più bassa".

3. Per un'attenta analisi di alcune sottigliezze, vedere Requardt, "The Rindler and Minkowski Quantum Field Theory in the Unruh Scenario", https://arxiv.org/abs/1804.09403

Answer 2

Nella QFT (teoria quantistica dei campi) la densità Lagrangiana $\mathcal L$è costruito per essere invariante di Lorentz. Sulla base della lagrangiana si costruisce una densità hamiltoniana$\mathcal H$, che deve essere definito positivo.

Se si cambia il sistema di riferimento, formalmente la lagrangiana non cambia, quindi nemmeno l'hamiltoniano. Conseguentemente la definitività positiva dell'Hamiltoniano manterrà, anche se applicata a campi trasformati.

Answer 3

Supponiamo di poter avviare un aspirapolvere Minkowski $(H-E_{\Omega})|{\Omega}\rangle=0$. Quindi per qualsiasi vettore di uccisione simile al tempo (che penserò come specificare una curva simile al tempo o qualche osservatore accelerato) possiamo chiederci se c'è il vuoto. A livello locale, la regione nello spazio su cui è definito il campo di uccisione può essere posta sotto forma di coordinate di Rindler. In altre parole, in ogni istanza di tempo proprio sappiamo cos'è l'accelerazione e la covarianza generale ti dice che la fisica locale è la stessa dello spazio di Minkowski. Quindi il vuoto di Minkowski per questo osservatore dovrebbe apparire come uno stato termico, magari con una temperatura variabile. In altre parole, un osservatore accelerato vede sempre un orizzonte effettivo a cui si può assegnare una temperatura, quindi le tue domande dovrebbero essere risolte dall'effetto Unruh.