la fibra con un solo punto è isomorfa alle specifiche di un campo

Question

Permettere $R$ e $T$essere anelli commutativi con unità. Permettere$Q$ essere un ideale primo di $R$ e $\phi:R \to T$. Supponiamo$T \otimes_R (R_Q/Q R_Q)$ha solo un ideale primo. Quindi vorrei provare che la mappa verticale sul lato sinistro di \ begin {array} {cc} T \ otimes_R R_Q / Q R_Q & \ leftarrow & T \\ \ uparrow & & \ uparrow \\ R_Q / Q R_Q & \ leftarrow & R \ end {array}
è un isomorfismo. Come posso provarlo?

Ho pensato di poterlo provare dimostrando quello dato $t \otimes r$, noi abbiamo $t \otimes r = 1 \otimes s$ per alcuni $s \in R_Q/Q R_Q$, ma questo sembra funzionare solo se $t$ è a immagine di $\phi$...

Modificare. La domanda posta non sembra essere corretta, come si può vedere nel commento. Quali presupposti posso aggiungere per renderlo vero? Sto cercando di capire i dettagli di una dimostrazione a Mumford della fibra$f$ al di sopra di $y$ è $\operatorname{Spec} \kappa(y)$ dato $f^{\#}(\mathfrak{m}_y) O_{X,x} = \mathfrak{m}_x$. Grazie

Answer 1

Lemma: Let $f:X\rightarrow Y$essere un morfismo di schemi. Poi$f^{-1}(p) \cong X\times_{Y} \kappa(p)$ come imposta dove $\kappa (p)$ è il campo dei residui in $p\in Y$.

Prova: supponi $X=\operatorname{Spec}A,Y=\operatorname{Spec}B$ sono affini e $p\in \operatorname{Spec} B$. Impostato$S=B\backslash p$. Quindi abbiamo le seguenti corrispondenze 1-1$$f^{-1}(p)\leftrightarrow\{P\in \operatorname{Spec}A : P\cap B=p \}\leftrightarrow \{P \in \operatorname {Spec}A : P\supseteq pA \ , \ P \cap {B\backslash p}=\phi \} $$ $$\leftrightarrow \operatorname {Spec} \frac{S^{-1}A}{pS^{-1}A} \cong \operatorname {Spec} A\otimes_ B \frac{B_p }{pB_p}=X\times_Y \operatorname {Spec}\kappa(p) $$

Ora usi un argomento di patch per completare la dimostrazione.

Quindi stai chiedendo quando $\frac{A_p }{pA_p}$ è un campo che assume $\operatorname {Spec} \frac{A_p}{pA_p}$è un singleton. Permettere$P\in \operatorname {Spec} {A}$ essere l'unico primo ideale tale che $P\cap B\backslash p =\phi $ e $P\supset pA$. Poi$\frac{A_p }{pA_p}$ è un campo iff $pA_p =PA_p$, vale a dire l'ideale massimo di $\mathcal O_{Y,p}$ genera l'ideale massimo di $\mathcal O_{X,P}$ che è esattamente ciò che viene fornito nella domanda che hai collegato.