Limiti alla varianza della somma delle variabili casuali dipendenti

Aug 16 2020

Permettere $x_1, \ldots, x_n$possono essere variabili casuali dipendenti , ciascuna delle quali assume valori$x_i \in \{0, 1, 2\}$. Supponiamo inoltre che in ogni risultato il numero di variabili casuali uguali a 2 sia esattamente 1. Ora per ciascuna$i \in \{1, \ldots, n\}$ definire $$ f_i = \begin{cases} \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] & \text{if } x_i \geq 1\\ 0 & \text{if } x_i =0 \end{cases}, $$ e lascia $ f = \sum_i f_i. $

La mia domanda è quanto può essere grande la varianza di $f$essere? La mia congettura è che dovremmo essere in grado di vincolarlo$O(1)$ ma non so come dimostrarlo.


Nota: se aiuta, è facile dimostrarlo $E[f] = 1$: $$ E[f] = \sum_i E[f_i] = \sum_i \Pr[x_i \geq 1] \times \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] = \sum_i \Pr[x_i = 2] = 1, $$ dove l'ultima uguaglianza deriva dalla nostra ipotesi iniziale che in tutti i risultati sia esattamente uno dei $x_i$è uguale a 2.

Risposte

4 IosifPinelis Aug 16 2020 at 22:11

$Var\,f$ può essere dell'ordine di $n$ (ma non di più).

Anzi, lascia $U$ e $N$ essere variabili casuali indipendenti tali che $P(U=1)=:p=1-P(U=0)=:q$ e $P(N=i)=1/n$ per tutti $i\in[n]:=\{1,\dots,n\}$. Permettere$$x_i:=1(U=1,N\ne i)+2\times1(N=i). $$ Poi con $p=1/n$ $$Var\,f\sim n/4\tag{1}$$ (come $n\to\infty$).

D'altra parte, $$Var\,f\le Ef^2=\sum_{i,j\in[n]}Ef_if_j\le\sum_{i,j\in[n]}Ef_i =n\sum_{i\in[n]}Ef_i=n.$$


Dettagli su (1): abbiamo $$Ef^2=\sum_{i,j\in[n]}Ef_if_j \\ =\sum_{i,j\in[n]}P(x_i=2|x_i\ge1)P(x_j=2|x_j\ge1) P(x_i\ge1,x_j\ge1),\tag{2}$$ $$P(x_i\ge1)=1-P(x_i=0)=1-P(U=0)P(N\ne i)=1-q(1-1/n)=p+q/n,$$ $$P(x_i=2)=P(N=i)=1/n,$$ $$P(x_i=2|x_i\ge1)=\frac{P(x_i=2)}{P(x_i\ge1)}=\frac{1/n}{p+q/n},$$ e $$P(x_i\ge1,x_j\ge1)=1-P(x_i=0\text{ or }x_j=0)=1-P(x_i=0)-P(x_j=0)+P(x_i=0,x_j=0) =1-2q(1-1/n)+q(1-2/n)=1-q=p$$ per $i\ne j$. Scegliere adesso$p=1/n$, noi abbiamo
$$Ef^2\sim n/4.$$ Da $Ef=1$, (1) ora segue.


Guardando indietro a (2), ora l'idea alla base della costruzione dovrebbe diventare trasparente: vogliamo fare $P(x_i\ge1,x_j\ge1)$ per $i\ne j$ molto maggiore di $P(x_i\ge1)P(x_j\ge1)$ e allo stesso tempo non fare $P(x_i\ge1,x_j\ge1)$troppo piccolo. La scelta$p=1/n$ è quasi ottimale a questo proposito.