lo stimatore di massima verosimiglianza può dipendere dalla parametrizzazione?

Aug 17 2020

Cioè, diciamo che ho una distribuzione con parametro $\theta$.

Se lo riscrivo con un parametro $a$ tale che $a^3=\theta$, è possibile che facendo la stima di massima verosimiglianza su a si ottenga una stima $\hat a$ tale che $\hat a^3 \neq \hat \theta$?

Potrebbe essere il caso di un'altra funzione diversa da $x^3$?

In caso affermativo, quali sono alcuni criteri per scegliere una parametrizzazione?

Risposte

7 StatsStudent Aug 17 2020 at 07:22

La proprietà di invarianza degli stimatori di massima verosimiglianza (MLE) dice, se $\hat{\theta}$ è il MLE di $\theta$, quindi per qualsiasi funzione $\tau(\theta)$ il MLE di $\tau(\theta)$ è $\tau(\hat{\theta})$.

Quindi, se definisci $a^3=\theta$, una volta ottenuto il tuo MLE per $\theta$, $\hat{\theta}$, puoi applicare la funzione inversa prendendo la radice cubica di $\hat{\theta}$ e ottieni il MLE di $a$ (es $\hat{a}=\hat{\theta}^{1\over{3}}$)

Aggiornare:

Ho aggiunto la prova menzionata da Thomas Lumley nei commenti:

Permettere $\hat{\eta}$ denotano il valore che massimizza $L^*(\eta|\textbf{x})$. Dobbiamo dimostrarlo$L^*(\hat{\eta}|\textbf{x})$=$L^*(\tau(\hat{\theta})|\textbf{x})$. Il massimo di$L$ e $L^*$ coincidono, quindi abbiamo

\ begin {eqnarray *} L ^ {*} (\ hat {\ eta} | \ textbf {x}) & = & \ underset {\ eta} {\ text {sup}} \ underset {\ {\ theta: \ tau (\ theta) = \ eta \}} {\ text {sup}} \, L (\ theta | \ textbf {x}) \\ & = & \ underset {\ theta} {\ text {sup}} L (\ theta | \ textbf {x}) \\ & = & L (\ hat {\ theta} | \ textbf {x}), \ end {eqnarray *}

La prima e la terza uguaglianza valgono per definizione di $L^{*}$ e $\hat{\theta}$ rispettivamente, e la seconda uguaglianza vale perché la massimizzazione iterata è uguale alla massimizzazione incondizionata over $\theta$, ottenuto a $\hat{\theta}$. Ulteriore,

\ begin {eqnarray *} L (\ hat {\ theta} | \ textbf {x}) & = & \ underset {\ {\ theta: \ tau (\ theta) = \ tau (\ hat {\ theta}) \ }} {\ text {sup}} L (\ theta | \ textbf {x}) \\ & = & L ^ {*} \ left [\ tau (\ hat {\ theta}) | \ textbf {x} \ destra]. \ end {eqnarray *}

Quindi, la serie di uguaglianze lo mostra $L^{*}(\hat{\eta}|\textbf{x})=L^{*}\left[\tau(\hat{\theta})|\textbf{x}\right]$ e quello $\tau(\hat{\theta})$ è il MLE di $\tau(\theta)$. $\blacksquare$