Logaritmica di una funzione di verosimiglianza

Question

Ho una funzione di verosimiglianza$$ L(\theta;\mathbf x) = \frac{\prod x_i^{\nu-1} \exp\left( -\sum x_i/\theta \right) }{\theta^{\nu n} [\Gamma(\nu)] } \qquad x>0 $$

Viene trasformato in log nella seguente formula$$ \ln L(\theta;\mathbf x) = \text{constant} - \frac{n\overline x} \theta - \nu\theta\ln\theta $$

Due domande:

1. Ottengo lo stesso risultato quando eseguo la trasformazione da solo, tranne che in aggiunta al risultato precedente ottengo un termine extra$n\bar{x}(\nu-1)$- perché non dovrebbe essere lì?

1. Anch'io capisco${}-\text{const}$piuttosto che${}+\text{const}$, ma suppongo perché è un valore costante arbitrario, allora neanche$+$o$-$lavori?

Answer 1

In questo contesto, "costante" significa non dipendente da$\theta.$Tutti termini che non dipendono da$\theta$sono costanti. In particolare, spesso la prossima cosa che si fa dopo aver preso il logaritmo è differenziare rispetto a$\theta,$e poi ogni termine non dipende da$\theta$svanisce.