mappa di inclusione in collettore liscio

Question

Dato collettore liscio $M$ ed è sottovarietà $S$(es. sottoinsieme aperto di $M$) abbiamo la mappa di inclusione $i:S\to M$.

E trattiamo $i$ come $i(x) = x$ tipicamente.

Per esempio $i:S^n \to \mathbb{R}^{n+1}$ è valido per definire $i(x) = x$ Ma non sembra per esempio inclusione $i:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n+1}$ come $(x_1,...,x_n) \to (x_1,...,x_n,0)$

Quindi ero un po 'confuso qual è la definizione di inclusione qui? Dovremmo trattarla come $i(x) = x$?

Questa "inclusione" è un'inclusione topologica per impostazione predefinita o no?

Ho trovato una spiegazione qui

Answer 1

In realtà ci sono sottigliezze più profonde: la nozione di sottovarietà può generare molta confusione: vuoi che una sottovarietà sia immersa, vuoi che sia una sottovarietà incorporata?

Una sottovarietà immersa $S$ di una varietà di $M$è l'immagine di una varietà sotto un'immersione. Un immersione è una mappa liscia con derivata iniettiva.

Un embedding è un embedding topologico , cioè un omeomorfismo sulla sua immagine (rispetto alla topologia subspaziale), che è anche un'immersione iniettiva.

Nota !: Le immersioni non sono necessariamente iniettive, né un incorporamento topologico!

Answer 2

la mappa di inclusione è sempre definita come $i(x) = x$ .

il motivo per cui chiamiamo $(x_1,...,x_n) \to (x_1,...,x_n,0)$ la mappa di inclusione è sotto la rappresentazione delle coordinate ha questa forma, ma per la sottovarietà incorporata $S\subset M$. L'inclusione è$i(x) = x$

Quando parliamo di varietà liscia, non dovremmo presumere che la mappa di inclusione sia l'inclusione topologica.

Se $S\subset M$ come sottovarietà immersa liscia, e $S$ ha una topologia subspaziale, possiamo supporre $i$ come incorporamento topologico