Matrici deterministiche con proprietà di matrice casuale
Una matrice scelta a caso dall'insieme ortogonale gaussiano di $n\times n$matrici ha una distribuzione empirica degli autovalori che (opportunamente a grana grossa) segue una legge del semicerchio di Wigner (come$n\rightarrow \infty$). Si ritiene che affermazioni simili valgano, ad esempio, per le funzioni di distribuzione della spaziatura a livello empirico ( ipotesi di Wigner ). Quindi una particolare matrice casuale (grande) mostra le proprietà medie del suo insieme di origine.
La mia domanda: esiste una sequenza esplicitamente nota di$n\times n$ matrici simmetriche reali $\{ A_n \}^{\infty}_{n=1}$per cui si può provare $A_n$ sviluppa qualità spettrali di matrice casuale come $n\rightarrow \infty$. Ad esempio, puoi dare una costruzione esplicita di una sequenza di tali$A_n$ per quale si può dimostrare che le distribuzioni empiriche degli autovalori e della spaziatura dei livelli si avvicinano alla legge del semicerchio e Wigner ipotizza rispettivamente?
Con "esplicitamente noto", vorrei idealmente una formula deterministica per gli elementi della matrice $[A_n]_{ij}$. Quindi, ad esempio, sarei felice se potessi dimostrare che le caratteristiche spettrali di cui sopra emergono se imposti$[A_n]_{i\geq j}=(i\times j)^{\text{th}} \text{ digit of }\pi$. A quanto pare, un rapido esperimento numerico suggerisce che la distribuzione del gap degli autovalori per questo esempio converge al risultato GOE. Ma a me interessa una dimostrazione , e preferibilmente una costruzione meno ingombrante.
Risposte
In realtà, solo per ottenere il semicerchio non è difficile. Prendi un$n$-di-$n$ Matrice Jacobi le cui voci diagonali sono $0$ e $i$th entrata sulla diagonale off è $\sqrt{i/n}$. Il limite ESD sarà il semicerchio.
Il motivo per cui funziona è che ciò che avresti costruito è la parte media del modello Dumitriu-Edelman Jacobi per G$\beta$E, che avrà lo stesso limite per la densità empirica di stato. Vederehttps://arxiv.org/abs/math-ph/0206043 o la pubblicazione sulla rivista per i dettagli.
Le distribuzioni di spaziatura sono una questione diversa, ma non hai chiesto di quelle ...