Migliore dimostrazione di una disuguaglianza numerica di$e^x$

Aug 16 2020

La disuguaglianza è

$$ e^z \leq 1+z+\frac{z^2/2}{1-|z|/3} \text{ for } |z|<3$$

L'ho dimostrato suddividendolo in 3 casi:$-3<z<0$,$z=0$e$0<z<3$.

Per$z=0$, entrambi i lati sono uguali.

Gli altri 2 casi sono fatti con il calcolo. Definire$f(x)=e^x-1-x-\frac{x^2/2}{1-|x|/3}$e quindi sostituire$|x|$di$x$o$-x$di conseguenza. Quindi basta controllare le derivate.

Ma secondo me è una specie di forza bruta, quindi mi chiedo se ci sia un modo più veloce (più intelligente) per mostrarlo.

Risposte

4 JoséCarlosSantos Aug 16 2020 at 17:25

Si noti che, se$|z|<3$,\begin{align}e^z-1-z&=\frac{z^2}2+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots\\&=\frac{z^2}2\left(1+\frac z3+\frac{z^2}{3\times4}+\frac{z^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3\times4}+\frac{|z|^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3^2}+\frac{|z|^3}{3^3}+\cdots\right)\\&=\frac{z^2}2\cdot\frac1{1-|z|/3}.\end{align}