Mostra che una funzione crescente ha una derivata $0$ ae

Aug 18 2020

Permettere $0<p<1$ e definire $F:[0,1]\rightarrow[0,1]$ di $$F(x)=\begin{cases} pF(2x),&x\in\left[0,\frac12\right]\\ p+qF(2x-1),&x\in\left[\frac12,1\right] \end{cases}$$ dove $q=1-p$. Vorrei dimostrarlo$F'(x)=0$ ae

Sto lavorando a "How to Gamble If You Must" di Kyle Siegerst, che è fondamentalmente una serie di esercizi.$F(x)$ è la probabilità che un giocatore inizi con un bankroll $0\leq x\leq 1$ raggiungerà il suo obiettivo di $1$se si impegna in un "gioco audace" nel gioco del rosso e del nero. Quando il suo bankroll è$\leq\frac12$ scommette tutto, vincendo con probabilità l'importo puntato $p$e perderlo con probabilità $q$. Quando il suo bankroll è$>\frac12$, scommette quel tanto che basta per raggiungere l'obiettivo, ovvero $1-x$.

Negli esercizi ho dimostrato che esiste una funzione unica $F$soddisfacendo l'equazione funzionale di cui sopra, e che è continua e rigorosamente crescente. Dopo l'esercizio$33$, l'autore osserva che quando $p\neq\frac12$, $F'(X)=0$ ae, in modo che $F$è una scala del diavolo. Ho cercato di provare questa affermazione. (So che una funzione crescente è differenziabile ae È il valore con cui ho problemi.)

Vago $50$ricordi di anni di teoria della misura mi hanno portato alla Proposizione 3.31 nella "Real Analysis" di Folland, cioè

Se $F\in NBV, \text{ then }F\in L^1(m).$ Inoltre, $\mu_F\perp m \text{ iff } F' =0$ ae, e $\mu_F \ll m \text{ iff } F(x)=\int_{-\infty}^xF'(t)dt. $

Qui $m$ è la misura di Lebesgue e ae è rispetto alla misura di Lebesgue. $\mu_F$ è la misura Borel definita da $\mu_F([a,b])=F(b)-F(a)$. Folland utilizza$NBV$ per intenderci $F$ è di variazione limitata, $F(-\infty)=0$ e $F$è giusto continuo. Questo non è un problema, poiché possiamo estendere$F$ per $\mathbb{R}$ definendo $F(x)=0$ per $x<0$ e $F(x)=1$ per $x>1$.

Quindi sembra che si riduca a mostrare $\mu_F\perp m$. Ciò significa che esiste un file$E\subset[0,1]$ con $m(E)=0$ e $\mu_F(E)=1$se non erro. Non vedo come dimostrarlo. In effetti non mi sembra affatto probabile, quindi devo fraintendere qualcosa.

Nell'esercizio 29, l'ho dimostrato $$F(x)=\sum_{n=1}^\infty p_{x_1}\cdots p_{x_{n-1}}px_n$$ dove $x_i$ è il numero di bit $i$ di $x$, e $p_0=p,\ p_1=q$. (Quando$x$ è un razionale diadico, prendiamo la rappresentazione terminale.) Se rappresentiamo vince per $1$ e perdite di $0$, questo significa che il giocatore raggiunge l'obiettivo se e solo se la prima volta che un po 'nel suo bankroll corrisponde al bit di gioco corrispondente, quei bit sono entrambi $1$. Questa è la rappresentazione più concreta di$F$ sul giornale, ma non vedo come aiuta.

Puoi gettare luce su questo per me?

Risposte

4 shalop Aug 21 2020 at 15:27

Prima nota che $F$ è il cdf della variabile casuale $X:=\sum_1^{\infty} 2^{-n} \xi_n$ dove il $\xi_n$ sono iid Bernoulli$(p)$variabili casuali. In effetti, è chiaro che quello$X = \frac12\xi_1+\frac12 Y$, dove $Y$ ha la stessa distribuzione di $X$ ed è indipendente da $\xi_1$. Questo dà la relazione$$P(X\le x) = P(X\le x|\xi_1=0)P(\xi_1=0)+P(X \le x|\xi_1=1)P(\xi_1=1) $$$$= (pP(Y\leq 2x)+q\cdot 0)1_{\{x \le 1/2\}} + (p\cdot 1 +qP(Y\leq 2x-1))1_{\{x >1/2\}},$$ che è esattamente la relazione per $F$.

Ora nota dalla legge forte dei grandi numeri che $X$ è supportato sull'insieme di numeri reali la cui espansione binaria ha densità asintotica $p$ di $1$'s (o, equivalentemente, ha densità asintotica $q$ di $0$'S).

Ma l'insieme di tutti questi numeri reali ha Lebesgue misura zero. In effetti, se campioniamo uniformemente un numero reale da$[0,1]$, quindi le sue cifre binarie sono iid Bernoulli$(1/2)$, quindi quasi sicuramente la densità asintotica di $1$è $1/2$, no $p$.